El mayor coeficiente en el poder de un polinomio

Question

¿Cómo puedo encontrar el mayor coeficiente de cualquier poder de la $x$ en una expansión como $(1 + 2x + 2x^2)^n$, como una función de la $n$?

En el caso de $(1+x)^n$, sabemos que la central de los coeficientes son los más grandes, y para $(1+ax)^n$ I puede tomar proporciones de términos consecutivos para encontrar la más grande, pero estos métodos fallan en el caso de los mencionados anteriormente.

También, podemos encontrar que el grado del plazo para el que este mayor coeficiente se produce, de nuevo como una función de la $n$?

Answer 1

Para algo como $(1+2x+2x^2)^n$, se puede decir que la potencia esperada de $x$ para cada factor es $\frac 65$, por lo que es de esperar que el máximo para estar a $\frac 65n$. Para $n=100$ este sería el $x^{120}$ plazo y que realmente es por Alfa. Usted tiene que hacer clic en más términos de un montón de ver esto. Es, básicamente, el uso de la aproximación normal a la distribución binomial.

Answer 2

1. Escribir

$$\left(\frac{1}{5} + \frac{2x}{5} + \frac{2x^2}{5}\right)^n = \sum_{l=0}^{2n} a_lx^l.$$

2. Deje $x_1,x_2,\ldots, x_n$ ser iid donde cada una de las $x_i$ es de 0 con probabilidad de $\frac{1}{5}$; 1 con una probabilidad de $\frac{2}{5}$; y 2 con una probabilidad de $\frac{2}{5}$. A continuación, para cada una de las $l$, tenga en cuenta lo siguiente:

$${\bf{P}}\left[\left(\sum_{i=1}^n x_i \right) = l \right] = a_l$$

3. Resulta que (Chernoff límites) que el valor de $l$ que maximiza $a_l={\bf{P}}\left[\left(\sum_{i=1}^n x_i \right) = l \right]$ es $l \approx {\bf{E}}\left[\sum_{i=1}^n x_i \right]$ que es $l \approx \frac{6n}{5}$.

4. Por lo que poner los anteriores juntos, escribir $\left(\frac{1}{5} + \frac{2x}{5} + \frac{2x^2}{5}\right)^n$ como $\sum_{l=0}^{2n} a_lx^l$, el valor de $a_l$ tal que $a_l$ es el más grande es $l \approx \frac{6n}{5}$ y $l$, el coeficiente de $a_l$ valor $\theta \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.

5. Así que la escritura

$$(1+2x+2x^2) = \sum_{l=0}^{2n} b_lx^l,$$

el valor de $l$ que maximzes $b_l$ es $l\approx \frac{6n}{5}$, e $b_l$ valor $\theta(\frac{5^n}{\sqrt{n}})$.