¿Cómo integró Einstein$\frac{\partial \tau}{\partial x'}+\frac{v}{c^2-v^2}\frac{\partial \tau}{\partial t}=0$?

Question

En su artículo "Sobre la Electrodinámica de los Cuerpos en Movimiento", escribe la ecuación de Einstein

$$\dfrac{\partial \tau}{\partial x'}+\dfrac{v}{c^2-v^2}\dfrac{\partial \tau}{\partial t}=0$$

donde

• $\tau=\tau(x',y,z,t)$ es una función lineal (es decir, $\tau=Ax'+By+Cz+Dt$)
• $x'=x-vt$
• $\dfrac{\partial \tau}{\partial y}=0$ (es decir, $B=0$)
• $\dfrac{\partial \tau}{\partial z}=0$ (es decir, $C=0$)
• $c$ es una constante
• $x,x',y,z,t,v$ son variables

y de él se deriva que

$$\tau=a\left(t-\dfrac{v}{c^2-v^2}x'\right)$$

donde $a=a(v)$

Podría alguien por favor caminar a través de mí paso a paso de cómo se derivó esta? No estoy muy familiarizado con las integrales invovling derivadas parciales, entonces yo estaría agradecida si todas las respuestas son bastante explícitos.

Además, si he modificado la pregunta para decir que $\tau$ era afín a la función (es decir, $\tau=Ax'+By+Cz+Dt+E$), iba a hacer ninguna diferencia en el resultado (sospecho que no)?

Answer 1

A partir de las definiciones dadas: $$\partial_{x'}\tau = A, \quad \partial_t \tau = D$$ También: $$\partial_{y}\tau = B = 0, \quad \partial_z \tau = C = 0$$ A partir de la ecuación diferencial se obtiene: $$A + \frac{v}{c^2 - v^2}D = 0 \\ \implica A = - \frac{v}{c^2 - v^2}$D$ Ahora, utilizando la definición dada por $\tau$: $$\tau = - \frac{v}{c^2 - v^2}Dx' + Dt = D\bigg(t - \frac{v}{c^2 - v^2}x'\bigg)$$ Así, si se define $D=a$ obtener la expresión final para $\tau$. Como usted ha notado, que requieren $\tau$ ser afín a no cambiar los resultados en todos los de su $\tau$ sería: $$ \tau = a\bigg(t - \frac{v}{c^2 - v^2}x'\bigg) + E$$ La razón por la $a=a(v)$ es debido a $D$, que en realidad es $a$ en el disfraz, no depende de la $x', y, z, t$ pero se supone que dependen de la $v$. De lo contrario, la relación no es lineal. Sin más información, $a$ es una función del potencial de nada, a excepción de las cuatro variables.

Answer 2

No hay realmente ninguna necesidad de suponer que $\tau$ es lineal o afín para derivar la forma general de la $\tau$. Escribir la ecuación como $$ \frac{\partial\tau}{\partial x}+k\frac{\partial\tau}{\partial t} = 0 , $$ donde $k={v}/({c^2-v^2})$. Cambio de coordenadas de $(x',t)$ a $(\xi,u)$ por $$ \begin{cases}\xi= x'\\ u=t-k x' \end{casos} \qquad \text{o, equivalentemente,}\qquad \begin{cases}x'=\xi\\ t=u+k\xi. \end{casos} $$ Esto le da $$ \frac{\partial\tau}{\parcial\xi} = \frac{\partial\tau}{\partial x} \frac{\partial x}{\parcial\xi}+ \frac{\partial\tau}{\partial t}\frac{\partial t}{\parcial\xi} = \frac{\partial\tau}{\partial x}+k\frac{\partial\tau}{\partial t} = 0 , $$ lo que significa que en las nuevas coordenadas, $\tau$ es una función de sólo $u$. Por lo tanto $$ \tau=a(u)=a(t-k x'), $$ para algunos la función de $a$. En este punto, usted puede usar la suposición de que $\tau$ es lineal (o afín) para deducir que $a$ es lineal (o afín).

Answer 3

Haciendo el cambio de variables

$$ x'=x - vt\\ t'=\alpha t $$

tenemos

$$ (v^2+\alpha(c^2-v^2))\frac{\partial\tau}{\partial x}+v\frac{\partial \tau}{\partial t}=0 $$

así que elegir

$$ \alpha = \frac{v^2}{v^2-c^2} $$

tenemos

$$ \frac{\partial \tau}{\partial t} = 0\Rightarrow \tau(x',t') = f(x') = f(x-v t) $$