Minimizando el área de la elipse.

Question

Encontrar el área mínima de una elipse que pueden pack de tres unidades círculos de tal forma que las tres tocar la elipse internamente: Tomé un punto H, como se muestra en el diagrama y se utiliza el hecho de que el radio del círculo es 1, y que el círculo toca la elipse en el punto H. estoy consiguiendo cuatro ecuaciones para cinco incógnitas, lo que significa que puede derivar una relación entre a y b de la elipse y un cálculo de minimizar el área. Pero esas ecuaciones son tediosos para resolver e incluso después de horas, yo no soy capaz de resolver. ¿Hay alguna manera más sencilla de solucionar esto? Aquí están las ecuaciones que tengo:

Answer 1

Si decidimos de coordenadas como en el dibujo: $$A=(-2\sin\theta,0);\quad B=(0,-2\cos\theta);\quad C=(2\sin\theta,0);$$ entonces la tangente a la elipse debe estar centrada en $(0,0)$ e tienen $b=1+2\cos\theta$ como $y$ semi-eje. Por lo tanto su ecuación es: $${x^2\más de un^2}+{y^2\(1+2\cos\theta)^2}=1,$$ donde el desconocido semi-eje $a$ debe ser determinado de forma que la elipse toca círculo de $C$. Para encontrar $a$ podemos pareja la ecuación de la elipse que de círculo $C$: $$(x-2\sin\theta)^2+y^2=1$$ y, a continuación, enchufe $y^2=1-(x-2\sin\theta)^2$ en la elipse de ecuación. El resultado ecuación de segundo grado en $x$ debe tener fuga discriminante, lo que conduce a: $$a={1+2\cos\theta\\sqrt{\cos\theta}}.$$ Sabiendo que los dos semi-ejes $a$ e $b$ como una función de la $\theta$ puede encontrar por sí mismo el valor mínimo de la zona, que se produce por $\cos\theta=1/6$.

EDIT.

El método anterior para encontrar $a$ funciona siempre como puntos de tangencia $y\ne0$, que es para $\theta>\theta_0$, $\theta_0\approx69.65°$. Para pequeños valores de $\theta$ usted consigue simplemente $a=1+2\sin\theta$, pero se puede comprobar que los puntos suspensivos tienen mayor área.

Answer 2

Permítanme tratar de ayudar con el análisis discriminante.

Empezar con $$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{(1+2\cosθ)^2}=1$$

Poner $$y^2=1−(x−2 \sinθ)^2$$

Así que la ecuación se convierte en $$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{1−(x−2 \sinθ)^2}{(1+2\cosθ)^2}=1$$

Comparar con el estándar de la ecuación cuadrática $px^2 + qx + r = 0$. Si el discriminante es cero, entonces las raíces son iguales y $q^2 = 4pr$

Aquí, $$p = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{(1+2 \cos θ)^2}$$ $$q = \frac{4 \sin θ}{(1+2 \cos θ)^2}$$ $$r = \frac{1- 4 \sin^2 θ}{(1+2 \cos θ)^2}-1$$

Ahora $q^2 = 4pr \implies$

$$\frac{16 \sin^2 θ}{(1+2 \cos θ)^4} = 4 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{(1+2 \cos θ)^2}\right) \left(\frac{1 - 4 \sin^2 θ}{(1+2 \cos θ)^2}-1\right) (1)$$

Siguiente, se observa que la $$1- 4 \sin^2 θ - (1+2 \cos θ)^2 = -4(1+ \cos θ)$$

Uso esta indicado en (1):

$$\frac{16 \sin^2 θ}{(1+2 \cos θ)^4} = 4 \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{(1+2 \cos θ)^2}\right) \left(\frac{-4(1+ \cos θ)}{(1+2 \cos θ)^2}\right) (2)$$

El próximo cancelar $16$ tanto de LHS y RHS y escribir $$\sin^2 \theta = (1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)$$ en el lado izquierdo de (2) para obtener

$$\frac{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)}{(1+2 \cos θ)^4} = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{(1+2 \cos θ)^2}\right) \left(\frac{-(1+ \cos θ)}{(1+2 \cos θ)^2}\right) (3)$$

El próximo cancelar $(1 + \cos \theta)$ tanto de LHS y RHS de (3) y reordenar para obtener

$$\frac{1}{a^2} = \frac{\cos \theta}{(1+2 \cos \theta)^2}$$