Demuestre que$T$ es un operador acotado en un álgebra de disco y demuestre la existencia de una medida de Borel en un límite de un disco de unidad abierta.

Question

Deje $A(D)$ ser el espacio de holomorphic funciones en la unidad de disco $D$ y continua en el disco cerrado $\bar{D}$. A continuación, $A(D)$ es un espacio de Banach si establecemos $\|f\|=\sup\{|f(z)|:z\in\bar{D}\}$. Para $f\in A(D)$escribir $$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n. $$ a) Deje $\{c_n\}_{n=0}^{\infty}$ ser una secuencia de números complejos con la propiedad de que si $f\in A(D)$ representado como en el anterior, y $$ f^*(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_na_nz^n, $$ a continuación, $f^*\in A(D)$. Demostrar que no existe $C>0$ tal que $\|f^*\|\leq C\|f\|$ para todos los $f\in A(D)$.

Estoy pensando que tengo que probar $T:A(D)\to A(D)$ con $T(f)=f^*$ es acotado (o continua). ¿Tienes alguna otra idea?

b) Vamos a $\omega\in D$. Demostrar que no existe una medida de Borel $\mu_{\omega}$ a $\partial D=\{z:|z|=1\}$ tales que $$ f(\omega)=\int_{\partial D}f(t)d\mu_{\omega}(t),\;f\en A. $$

Estoy pensando en que podemos utilizar el Máximo de Módulo principio, pero es la medida $\mu_{\omega}$ único? Podría usted por favor darme algunas ideas?

Muchas gracias.

Answer 1

Para a), utilice cerrado teorema de la gráfica para mostrar el $T$ está acotada. Basta para mostrar si $f_k \to f$ e $Tf_k = f_k^* \to g$ en $A(D)$, a continuación, $g= Tf = f^*$. Se sigue de Cauchy de la integral de la fórmula $$ a_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=r} \frac{f(z)}{z^{n+1}}dz $$ and uniform convergence of $(f_k)$ and $(f^*_k)$. (Hint: compare coefficients of power series expansions of $f^*$ and $g$.)

Para b), vamos a $B(\mathbb{T})$ ser una familia de $g\in C(\mathbb{T})$ tal que $g = f|_\mathbb{T}$ para algunos $f\in A(D)$. (Aquí, $\mathbb{T}=\partial D$.) A continuación, $B(\mathbb{T})$ es un subespacio de $ C(\mathbb{T})$. Vamos $$ \phi_\omega: g\B(\mathbb{T}) \mapsto f(\omega)\in \mathbb{C}. $$ Then, $\phi_\omega$ is a well-defined linear functional (since there is unique $f\en(D)$ such that $g = f|_\mathbb{T}$) with $\|\phi_\omega\|_{B(\mathbb{T})\to \mathbb{C}}\leq 1$ by maximum modulus theorem. By Hahn-Banach theorem, there exists an extension $\Phi_\omega : C(\mathbb{T}) \to \mathbb{C}$ of $\phi_\omega$ with $\|\Phi_\omega\|_{C(\mathbb{T})\to \mathbb{C}}=\|\phi_\omega\|_{B(\mathbb{T})\to \mathbb{C}}$. Now, by Riesz representation theorem, we know there exists a finite Borel measure $\mu_\omega$ on $\mathbb{T}$ such that $$ \Phi_\omega(f|_\mathbb{T})=f(\omega) = \int_\mathbb{T} f|_\mathbb{T}(t)d\mu_\omega(t)=\int_\mathbb{T} f(t)d\mu_\omega(t) $$ for all $f \en(D)$.