Demostrar que .

Question

Vamos $$\begin{align} X &=\left\{r\left(\cos \dfrac{k\pi}{3}+i \sin \dfrac{k\pi}{3}\right): r \in \Bbb{R^*},k \in \Bbb{Z}\right\}, \\ A &=\{z \in \Bbb{C}|z^3=1\}. \end{align}$$

Podemos mostrar que $(X;.) ,(A;.)$ es un grupo. Por otra parte, tenemos a $(A;.)$ es un subgrupo de $(X;.)$.

El problema es:

Demostrar que $X/A \cong (\Bbb{R^*};.)$.

Hice mi mejor esfuerzo para encontrar un isomorfismo, pero no puedo encontrar un isomorfismo que ha kernel $A$ aunque he utilizado el lema $(\Bbb{R^+};+) \cong (\Bbb{R^*};.)$, así que estoy atrapado aquí.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia : defina $\varphi :X\to \Bbb{R^*}$ tal que $re^{ik\pi/3}\mapsto (-1)^kr^3$ . El primer programa $\varphi$ es un homomorfismo suprayectivo y el núcleo de $\varphi$ es $A$ , luego use el teorema del primer isomorfismo.

Answer 2

Un acceso directo:

$A$ e $\mathbb R^*$ son ambos subgrupos de $\mathbb C^*$ y su intersección es $\{1\}$.

Ya que todo es abelian, esto significa que $\mathbb R^*A=\{ra\mid r\in\mathbb R^*, a\in A\}$ es un producto directo de $\mathbb R^*$ e $A$, y, en particular, $\mathbb R^*A/A\cong\mathbb R^*$.

Pero $\mathbb R^*A$ es exactamente su $X$.