Una serie para$\pi$

Question

Pregunta: ¿Podemos mostrar que $$\sum_{n=0}^\infty(-1)^{n+1}\frac{(2n-3)!!}{(2n+3)!!}=\frac{\pi}{8} $ $ ?

---

Según wolfram alfa este resultado es cierto .

Sólo curiosidad amateur, no estoy seguro de un punto de partida para mostrar si esto es cierto.

Answer 1

Tenga en cuenta que después de la cancelación hemos

$$\frac{(2n-3)!!}{(2n+3)!!}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}$$

Tomando parcial fracciones da $$ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{8}\left(-\frac{1}{2n-1}+\frac{2}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right) $$

Ahora, el estándar de la arcotangente de la serie para $\pi$ da $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$. Así $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n-1}=-\sum_{n=-1}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n+1}=-1-\frac{\pi}{4}$$ $$ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n-3}=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{\pi}{4} $$ lo que significa que cuando se combinan los tres infinitas sumas tenemos $$ \frac{1}{8}\left[-\left(-1-\frac{\pi}{4}\right)+2\left(\frac{\pi}{4}\right)-\left(1-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\frac{\pi}{8} $$ como se desee.

(Esta solución hace que sea obvio que la suma debe ser de la forma $a+b\pi$ con $a$ e $b$ racional, pero hace que la cancelación de la racional plazo se vea algo más que una coincidencia. Yo sería curioso saber si hay una forma diferente de hacer lo que más demuestra claramente por qué la suma termina siendo una racional múltiples de $\pi$.)

Answer 2

Teniendo en cuenta la simplicidad de Micah respuesta, me avergüenzo de proporcionar este complejo.

Vamos $$S_p(x)=\sum_{n=0}^p(-1)^{n+1}\frac{(2n-3)!!}{(2n+3)!!}x^p$$ De escritura $$S_p(x)=\frac{\left(8 p^3+36 p^2+46 p+15\right) \, _2F_1\left(-\frac{1}{2},1;\frac{5}{2};-x\right)+3 (-x)^{p+1} \, _2F_1\left(1,p+\frac{1}{2};p+\frac{7}{2};-x\right)}{3 \left(8 p^3+36 p^2+46 p+15\right)}$$Usando $$\, _2F_1\left(-\frac{1}{2},1;\frac{5}{2};-1\right)=\frac{3 \pi }{8}$$, a continuación, $$S_p(1)=\frac{\pi \left(8 p^3+36 p^2+46 p+15\right)-8 (-1)^p \, _2F_1\left(1,p+\frac{1}{2};p+\frac{7}{2};-1\right)}{8 \left(8 p^3+36 p^2+46 p+15\right)}$$ es decir $$S_p(1)=\frac \pi 8-\frac{(-1)^p }{8 p^3+36 p^2+46 p+15}\, _2F_1\left(1,p+\frac{1}{2};p+\frac{7}{2};-1\right)$$ and $\, _2F_1\left(1,p+\frac{1}{2};p+\frac{7}{2};-1\right)$ looks like an hyperbolic function going asymptotically to $\frac 12$.

A continuación, $S_\infty(1)=\frac{ \pi }{8}$.