Me enfrenté al siguiente problema en una sesión de álgebra abstracta en mi universidad: Sea $\omega$ sea un número real distinto de cero y n sea un número entero natural distinto de cero, ambos supuestos fijos. Calcular el resto de la división euclidiana del polinomio $(\cos{\omega}+X\sin{\omega}) ^n$ por $X^2 +1$ .
Traté de ampliar $(\cos{\omega}+X\sin{\omega}) ^n$ pero no me pareció útil. ¿Alguien puede ayudar?
Escriba el recordatorio $aX+b$ . Usted tiene
$$P(X) = (\cos \omega + \sin\omega X)^n =Q(X)(X^2+1) +aX+b.$$
Sustituir en esta ecuación $X$ por $i$ . Usted obtiene $$e^{in \omega} = ai+b.$$ Sustituir ahora $X$ por $-i$ . Usted obtiene
$$e^{-in \omega} = -ai+b$$
Resolver en $a,b$ finalmente consigues $b =\cos n\omega$ y $a = \sin n\omega$ .
Esta es esencialmente la misma respuesta que la de mathcounterexamples.net, pero es una explicación y un proceso de pensamiento ligeramente diferente, que me parece un poco más natural (aunque he votado la respuesta de mce.net). Por lo tanto, voy a dar mi proceso de pensamiento al ver esta pregunta.
Podemos calcular el resto de la división por un polinomio $f\in k[x]$ trabajando en el ring $k[x]/(f)$ ya que el resto de un polinomio $a$ en la división por $f$ es el único representante de $a$ en $k[x]/(f)$ de grado inferior al grado de $f$ .
Entonces reconoce que $\Bbb{R}[X]/(X^2+1)\cong \Bbb{C}$ a través de $X\mapsto i$ . Así, $(\cos \omega +X\sin \omega)^n\mapsto (e^{i\omega})^n=e^{i\omega n} = \cos(n\omega) + i \sin(n\omega)$ . Así, el resto de la división por $X^2+1$ debe ser $\cos(n\omega)+X\sin(n\omega)$ .
Tenga en cuenta que las preocupaciones algebraicas por sí solas no pueden indicarle si debe utilizar $X \mapsto \mathrm{i}$ o $X \mapsto -\mathrm{i}$ (ya que el álgebra no distingue los conjugados de Galois). mathcounterexamples.net hace ambas cosas.
@EricTowers Eso es lo que me confunde tanto de la respuesta de mathcounterexamples.net. No hay absolutamente ninguna razón para hacer ambas cosas, ya que no importa qué isomorfismo con $\Bbb{C}$ que elijas. Obtendrás la misma respuesta de cualquier manera.
Ya que el álgebra no puede distinguir la diferencia, ambos especializaciones dan ecuaciones válidas (simultáneamente). Obtenemos una ecuación para $b+ \mathrm{i} a$ y su conjugado $b - \mathrm{i} a$ exactamente como deberíamos, ya que la acción que toma $\mathrm{i}$ a $-\mathrm{i}$ es la conjugación. (Si el LHS hubiera sido real las dos ecuaciones serían redundantes, también como era de esperar, ya que $\mathbb{R}$ se fija con esta acción).
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