Este es un ejercicio del Capítulo 1 del libro Functional Analysis de Rudin.
Demuestra lo siguiente:
Sea $X$ un espacio vectorial topológico. Si $A$ y $B$ son subconjuntos compactos de $X$, entonces $A+B$ también lo es.
Mi suposición: Sea $\cup V_{\alpha}$ un recubrimiento abierto de $A+B$, si de alguna manera podemos dividir cada $V_{\alpha}$ en dos partes \begin{equation} V_{\alpha}=W_{\alpha}+U_{\alpha} \end{equation> con \begin{equation} \cup W_{\alpha}\supset A, \cup U_{\alpha}\supset B \end{equation> entonces podemos pasar fácilmente la compacidad de $A$ y $B$ a $A+B.
Sin embargo, no puedo encontrar una manera de dividir $V_{\alpha}$ de esa manera. Admito que esta es la única parte no trivial de este problema.
Cualquier pista sería útil.
¡Gracias!
26 votos
La suma es una operación continua. La imagen $A + B$ del conjunto compacto $A \times B$ es por lo tanto compacta.
0 votos
@AndréCaldas ¡Gracias! Aquí hay un problema relacionado. Encuentra un ejemplo que muestre que la suma de conjuntos cerrados puede no ser cerrada. ¿Podrías echarle un vistazo a esto?
2 votos
@HuiYu Sea $A$ el gráfico de $1/x$, y $B$ el eje $y$.
6 votos
En $\Bbb R^2$ deja $$H=\left\{\left\langle x,\frac1x\right\rangle:x>0\right\}$$ y $$K=\left\{\left\langle x,-\frac1x\right\rangle:x>0\right\}\;.$$ Luego $H+K\supseteq\{\langle x,0\rangle:x>0\}$, por lo que $\langle 0,0\rangle$ es un punto de acumulación de $H+K$ que no está en $H+K$.
0 votos
@AlexBecker ¡Gracias!
0 votos
relacionada respuesta de Jonas Meyer
0 votos
@AlexBecker: Siempre pensé que el eje $y$ era un conjunto abierto. ¿Es clopeno?
0 votos
@Libertron Definitivamente no está abierto. Está cerrado.