Si $A$ y $B$ son compactos, entonces también lo es $A+B$.

Question

Este es un ejercicio del Capítulo 1 del libro Functional Analysis de Rudin.

Demuestra lo siguiente:

Sea $X$ un espacio vectorial topológico. Si $A$ y $B$ son subconjuntos compactos de $X$, entonces $A+B$ también lo es.

Mi suposición: Sea $\cup V_{\alpha}$ un recubrimiento abierto de $A+B$, si de alguna manera podemos dividir cada $V_{\alpha}$ en dos partes \begin{equation} V_{\alpha}=W_{\alpha}+U_{\alpha} \end{equation> con \begin{equation} \cup W_{\alpha}\supset A, \cup U_{\alpha}\supset B \end{equation> entonces podemos pasar fácilmente la compacidad de $A$ y $B$ a $A+B.

Sin embargo, no puedo encontrar una manera de dividir $V_{\alpha}$ de esa manera. Admito que esta es la única parte no trivial de este problema.

Cualquier pista sería útil.

¡Gracias!

Answer 1

Publicando el comentario de André por el simple hecho de tener una respuesta con puntuación positiva (para evitar futuros cambios):

La suma es una operación continua. La imagen A+B del conjunto compacto A×B es, por lo tanto, compacta.