Problema de los tres círculos.

Question

Este problema geométrico fue propuesta en un Concurso de Matemáticas para estudiantes de secundaria de mi país. Es verdaderamente difícil encontrar su solución.

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Deje $ABC$ ser un agudo triángulo inscrito en el círculo con su centro $O$. La línea que es perpendicular a $AO$ a $O$ intersecta $AB$ e $AC$ a $E$ e $F$ respectivamente.

Deje $D$ ser el punto de intersección de $BF$ e $CE$. El círculo circunscrito de triángulo $BDC$ intersecta $AB$ e $AC$ a $M$ e $N$ , respectivamente, y el círculo circunscrito de triángulo $DEF$ intersecta $AB$ e $AC$ a $P$ e $Q$ respectivamente.

Deje $S$ ser el punto de intersección de $BC$ e $EF$, e $K$ ser el punto de intersección de $PN$ e $MQ$.

Demostrar que $AK\perp SD$.

Yo soy feliz si alguien podría proponer algunas ideas frescas para atacar este problema.

Answer 1

Deje $(WXYZ)$ denotar la circunferencia circunscrita de cualquier cuadrilátero cíclico $WXYZ$.

$EFCB$ es cíclico como $\angle OEA=\frac{\pi}{2}-\angle BAO=\angle ACB.$ por lo Tanto, $PQ\|BC $ e $EF\|MN$. También, se deduce que el $MNPQ$ es cíclico.

Ahora, $\angle DBM=\angle DCN$ como $EFCB$ es cíclico. Por lo tanto, $DM=DN$. Del mismo modo, $\angle DEP=\angle DFQ$ como $EFCB$ es cíclico. En consecuencia, $DP=DQ$. Por lo tanto, $D$ es el centro de la $(MNPQ)$.

Deje $MN$ se cruzan $PQ$ a $T$. Por construcción, $S$ es el centro radical de $(PQEF), (MNCB)$ e $(EFCB)$. Así, $SD$ es el eje radical de $(PQEF)$ e $(MNCB)$. Por construcción, $T$ es el centro radical de $(PQEF), (MNCB)$ e $(MNPQ)$. Así, $TD$ es el eje radical de $(PQEF)$ e $(MNCB)$, de donde, $S,\ T, D$ son colineales. Por lo tanto, $AK\perp SD \iff AK \perp TD.$

La aplicación de Brokard del teorema en $MNPQ$, tenemos, $AK \perp TD$, $D$ es el centro de la $(MNPQ)$ e $A, K$ e $T$ son las tres diagonales puntos de la completa cuadrángulo $MNPQ$.

$\blacksquare$

Tenga en cuenta que para cualquier $E,\ F$ a $AB$ e $AC$ , respectivamente, tal que $AEF\sim ACB$, el problema enunciado es verdadero. El circumcentre de $ABC$ es irrelevante.