Para espacios topológicos $X$ y $Y$ ¿es posible que $X \times X$ y $Y \times Y$ son homeomórficas, pero $X$ y $Y$ no son homeomórficas?
(He curioseado con espacios finitos, y colectores, y el conjunto de Cantor, sin ver ningún ejemplo).
Se inspiró en Existencia de un espacio topológico que no tiene "raíz cuadrada" pero cuyo "cubo" tiene "raíz cuadrada" . El producto cartesiano convierte la clase propia de espacios topológicos (hasta el homeomorfismo) en un gran monoide abeliano, así que aquí va una pregunta extra: ¿qué se sabe sobre la estructura de este monoide? Por ejemplo, el espacio dogbone muestra que no es cancelativo. ¿Tiene torsión en el sentido de que a veces $X^n \not\cong X$ pero $X^{n + 1} \cong X$ ?
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No es posible para espacios finitos, por mi argumento en mathoverflow.net/questions/269542/ .
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Tal vez echar un vistazo a la Whitehead colector. Mira: numdam.org/article/BSMF_1960__88__131_0.pdf y es.wikipedia.org/wiki/Manifold_de_Whitehead
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La existencia de tales espacios $X, Y$ es lo que se utiliza en el ejemplo de Mike Miller, véase su respuesta en la pregunta enlazada. Pero el colector Whitehead también serviría.
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En cuanto a los ejemplos de "torsión", véanse las referencias en mathoverflow.net/questions/10128/cuando-es-un-isomorfo-a3
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@MoisheCohen Interesante, por OP observaré que existe un functor de grupos a espacios, dado por la construcción de un complejo simplicial llamado " $BG$ " cuyo $n$ -se etiquetan mediante secuencias $[g_1, \cdots, g_n]$ de elementos de $G$ (y los pegados implican multiplicaciones), y $B(G \times H) = BG \times BH$ . En particular, la funtorialidad significa que si $G$ y $H$ son homeomórficas, también lo son $BG$ y $BH$ y a la inversa (si $BG \cong BH$ entonces $G \cong H$ mediante la observación de los grupos fundamentales). Por tanto, si $A \cong A^3 \neq A^2$ entonces $BA \cong (BA)^3 \neq (BA)^2$ .