Salir de la encuesta en las elecciones.

Question

Queremos ejecutar una encuesta de salida para el gobierno referéndum, pidiendo a los votantes en un centro de votación si votaron por la opción a o B. Tenemos una urna con 5 rojas, 3 verdes y 2 canicas azules. Cada votante elige aleatoriamente uno de mármol de la urna, de la que se ve su color y, a continuación, coloca de nuevo en la urna. Si es de color rojo, él dice la verdad (se supone que él debe de haber votado a o B – no hay otra opción). Si es verde, él responde "B", independientemente de lo que en realidad ha votado y si es azul, él responde "A", de nuevo, independientemente de lo que en realidad ha votado. Al final de la encuesta de salida, tenemos Un 40%. ¿Cuál es el porcentaje real de los votantes en este centro de votación?

Las probabilidades no es mi fuerte área de conocimiento :(

Me dijeron que este es un sencillo ejemplo del teorema de Bayes - me fui a través de ella, pero en realidad no puede encontrar la manera de aplicarlo!

\begin{align} \mathsf P(R\mid G, B) & = \frac{\mathsf P(R,G,B)}{\mathsf P(G, B)} \end{align}

OK por supuesto, la probabilidad de que R es de 0,5, de G 0.333 y para B 0.2. Pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Un elector vota, elige una bola y se basa en el color de la bola y el estado en su lugar dice "A" o "B". ¿Cuál es la probabilidad de que el votante va a decir "A" en la final? El votante finalmente, decir "Una" en sólo dos casos:

1. Él realmente votaron por la opción a y recogió la bola roja que le obligó a decir la verdad
2. ...o el votante recogió la bola azul que le obliga a decir "A"

Traducido a probabilidades:

$$p(\text{votante dice "Un" en la final})= \\ p(\text{votantes votaron por la opción a})\times p(\text{votante recogió la bola roja})+p(\text{votante recogió la bola azul})$$

...o con los números que usted tiene:

$$p(\text{votante dice "Un" en la final})= p(\text{votantes votaron por la opción a})\times \frac{5}{10}+\frac{2}{10}\etiqueta{1}$$

También sabemos (basado en nuestra encuesta de salida) que:

$$p(\text{voter says "A" in the end})=40\%=0.4$$

Reemplazar en (1) y se obtiene:

$$0.4= p(\text{voter voted for option A})\times 0.5+0.2\tag{1}$$

$$p(\text{voter voted for option A})=0.4=40\%$$

Resulta ser el mismo, pero eso es sólo una coincidencia afortunada.

Answer 2

Supongamos que hay $1000$de los votantes, $10a$ votar por $A$ e $10b$ para $B$.

También vamos a ser que $5a$ de la $A$-a los votantes escoge un mármol rojo, $3a$ un mármol verde y $2a$ una canica azul.

Del mismo modo $5b$ de la $B$-a los votantes escoge un mármol rojo, $3b$ un mármol verde y $2b$ una canica azul.

A continuación, en total $7a+2b$ dicen haber votado por $A$, por lo que tenemos las igualdades:

• $a+b=100$
• $7a+2b=400$

conduce a $a=40$, es decir, $40\%$de los votantes de $A$.