Deje que$\alpha$ sea una solución de un polinomio cuadrático mono con entradas de números enteros y$|\alpha|=1$. Luego pruebe que$\alpha^{12}=1$.

Question

($a$) Sea$\alpha$ la solución de un polinomio cuadrático mono con entradas de números enteros y$|\alpha|=1$. Luego, compruebe que$\alpha^{12}=1$.
($b$) Deje que$A \in M_2(\mathbb{Z})$ tal que$A^n=I$ para algunos$n$ luego muestre que$A^{12}=I$

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completamente atascado en ella. ¿Puedo obtener ayuda?

Answer 1

Desde $\alpha$ es un cero del polinomio que ca escribir el polinomio como

$$P(x)=(x-\alpha)(x-\beta)$$ para algunos $\beta\in\mathbb C$. Ahora bien $\alpha$ es real, entonces la $\alpha=\pm 1$ y ya está, o es compleja $\alpha=e^{i\phi}$ algunos $\phi$. A continuación,$\beta=e^{-i\phi}$, porque el conjunto de ceros de un polinomio real venir en el conjugado de a pares. Ahora los coeficientes de $P$ son enteros, por lo $\alpha+\beta=2\cos(\phi)=p$ algunos $p\in \mathbb Z$. Por lo tanto $$\phi=\arccos(\frac p2)\in\{\frac \pi3,\frac{2\pi}{3},\pi,0,\frac\pi2\}+2\pi\mathbb Z$$ En cualquier caso, $$\alpha^{12}=e^{12i\phi}=1$$

Para la segunda pregunta: El polinomio característico de a $A$ satisface las condiciones del polinomio en la parte a). El (complejo) autovalores son soluciones de este polinomio y desde $A^n=I$, la matriz $A$ es diagonalisable $\mathbb C$ (Esto es claro si los valores propios son distintos y fáciles de ver si coinciden). En particular, el $n^{th}$ de la potencia de los autovalores es 1, lo que implica $|\alpha|=1$. Finalmente, $A$ (a base de cambio) una matriz diagonal donde las entradas saitsfy $\alpha^{12}=\beta^{12}=1$.

Answer 2

1) Si$\,\alpha\in\Bbb R\;$ entonces$\,\alpha=\pm1\implies \alpha^{12}=1\,$ y hemos terminado, de lo contrario:

2)$\;\alpha\in\Bbb C-\Bbb R\implies\;$ también$\,\bar\alpha\,$ es una raíz del mismo polinomio entero monic$\,x^2+bx+c\in\Bbb Z[x]\,$.

Pero entonces

PS

Al escribir$$\alpha+\bar\alpha=2\text{Re}(\alpha)=-b\;,\;\;\alpha\bar\alpha=c=|\alpha|^2=1\implies$, obtenemos:

PS

PS

PS

Bueno, ahora termina la prueba.