Pequeño ejemplo de producto Zappa-Szep de grupos finitos.

Question

¿Alguien sabe un buen lugar para encontrar un ejemplo de un grupo,$G$, de orden "pequeño" en particular finito, de manera tal que haya subgrupos$H,K$ de$G$ con$HK=G$ y$G$ un producto Zappa-Szep de$H$ y$K$ (en particular, ni$H$ ni$K$ es normal?

Answer 1

Los ejemplos más pequeños no triviales tienen el orden$16$. Uno de ellos es $$\ mathbb {Z} _2 \ times D_8 \, = \, \ langle a, r, s \ mid a ^ 2 = r ^ 4 = s ^ 2 = [a, r] = [a, s] = 1, sr = r ^ {- 1} s \ rangle,$$ , que es el producto Zappa-Szép de los subgrupos$\{1,a,s,as\}$ y$\{1,ar^2,rs,ar^3s\}$.

Otros ejemplos incluyen$S_4$ (como menciona Derek Holt en los comentarios) y$D_{24}$, que es el producto Zappa-Szép de los subgrupos$\langle r^4,s\rangle \cong D_6$ y$\langle r^6,rs\rangle \cong V$.