Caras de Poliedros

Question

Estoy comenzando a estudiar geometría convexa. Deje $\mathcal{P}$ ser un poliedro en $\mathbb{R}^n$. Quiero mostrar que la cara $\mathcal{F}'$ de una cara $\mathcal{F}$ $\mathcal{P}$ es todavía un rostro de $\mathcal{P}$. Hay varias pruebas de este hecho para la polytopes. Por ejemplo, en los Ziegler "Conferencias sobre Polytopes" de la proposición $2.3$. Quiero mostrar que la misma tiene para los poliedros. Mi idea es que no se puede tomar una buena cantidad de polytope $\mathcal{V}$ que se cruza con tanto $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}'$ en alguna manera. En este punto me parece que $\mathcal{V} \cap \mathcal{F}'$ es un rostro de $\mathcal{V} \cap \mathcal{P}$, ya que este último es un polytope (por el llamado teorema principal en Ziegeler del libro de texto). A partir de esto me gustaría que a la conclusión de que la $\mathcal{F}'$ es un rostro de $\mathcal{P}$. Tal vez este es un típico problema: si la prueba se señaló en algún lugar de referencia estaría bien para mí como una respuesta.

EDICIÓN de las definiciones:

1. Un poliedro es la intersección de un número finito de cerrado halfspaces. Este es un conjunto convexo.

2. Un polytope es el casco convexo de e número finito de puntos.

3. Una cara $\mathcal{F}$ de un conjunto convexo $\mathcal{P}$ es cualquier conjunto definido por $\mathcal{F}=\mathcal{P}\cap\{ \mathbf{x}: \mathbf{a}\cdot \mathbf{x} - c = 0\},$ donde $\mathbf{a}\cdot \mathbf{x} - c \ge 0$ es una desigualdad válida para todas las $\mathbf{x} \in \mathcal{P}$

Answer 1

Supongamos que $\mathcal{F}$ está definido por $\mathcal{P} \cap \{ \mathbf{x}: f_1(\mathbf{x}) := \mathbf{a}\cdot \mathbf{x} - c = 0 \}$ donde $f_1(\mathbf{x}) \geq 0$ es válida la desigualdad de la $\mathcal{P}$. Tomemos cualquier cara $\mathcal{F}' \subset \mathcal{F},$ $\mathcal{F} \cap \{ \mathbf{x}: f_2(\mathbf{x}):=\mathbf{b}\cdot \mathbf{x} - d = 0 \}$ donde $f_2(x) \geq 0$ es válida la desigualdad de la $\mathcal{F}$. Desde el principal teorema sobre poliedros sabemos que $\mathcal{P} = conv(\mathbf{Q}) + cone(\mathbf{V})$. Aquí podemos ver las matrices como conjuntos de vectores columna. Ahora observamos que si $f_1(\mathbf{x}) \geq 0$ es válido para$\mathcal{P}$$f_1(\mathbf{x}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{q}_i - c \geq 0$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}_j \geq 0$. Esta última desigualdad debe ser válida, porque si no existe $j$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}_j < 0,$ podríamos optar $R > 0$ lo suficientemente grande como para $f_1(\mathbf{q_i + R \mathbf{v}_j}) < 0$ y esto contradice el hecho de que $f_1(\mathbf{x})$ es válida la desigualdad de la $\mathcal{P}$. Ahora podemos elegir $\lambda$ lo suficientemente grande tal que $\lambda f_1(\mathbf{x}) + f_2 (\mathbf{x}) \geq 0$ es válida para todas las $\mathbf{q}_i \not \in \mathcal{F}$. Furhter más, a costa de aumentar de nuevo $\lambda$, nos encontramos con $\lambda \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}_j + \mathbf{b} \cdot \mathbf{v}_j \geq 0,$ todos los $j$ que $\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}_j \neq 0$. Ahora observamos que el $\mathcal{F}$ es un poliedro aswell. Así nos encontramos con que $\mathcal{F} = conv(\mathbf{R}) + cone(\mathbf{W})$. si, para algunos $j,$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{v}_j = 0,$ nos encontramos con que $\mathbf{v}_j \in cone(W)$. De esto se deduce (debido a $f_2(\mathbf{x})$ es válida la desigualdad de la $\mathcal{F}$ $\mathbf{b} \cdot \mathbf{v}_j \geq 0$ y que, por ende, $\lambda \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}_j + \mathbf{b} \cdot \mathbf{v}_j \geq 0$ es inmediatamente respetados (porque es respetado por ambos términos). Ahora podemos concluir la prueba. Tomemos $\mathbf{x} \in \mathcal{P}$. Sabemos que $\mathbf{x} = \sum_i \mu_i \mathbf{q}_i + \sum_j \nu_j \mathbf{v}_j,$ por lo tanto $$\lambda f_1(\mathbf{x}) + f_2 (\mathbf{x}) =$$ $$= \sum_i \mu_i \left( \lambda \mathbf{a} \cdot \mathbf{q}_i + \mathbf{b} \cdot \mathbf{q}_i- \lambda c - d \right) + \sum_j \nu_j \left( \lambda \mathbf{a} \cdot \mathbf{v}_j + \mathbf{b} \mathbf{v}_j\right).$$ From what we have seen we can conclude that the terms in the right sum are positive, and so also those in the left sum. From this follows that $\lambda f_1(\mathbf{x}) + f_2 (\mathbf{x}) \geq 0$ is an inequality valid for the whole polyhedron $\mathcal{P}$.