Solicitud de referencia: Espectro Thom de un haz de vectores virtual

Question

Dado un haz de vectores $\xi$ se puede construir un espectro Thom $\mathbb{T}h(-\xi)$ asociado a su inverso aditivo.

He buscado sin éxito en la literatura para encontrar una referencia de una construcción explícita para $\mathbb{T}h(-\xi)$ lo más elemental posible, sobre todo sin conocimientos profundos en teoría de homotopía estable o mucha sobrecarga.

Answer 1

Mientras tanto, finalmente he descubierto una posible construcción, que creo que produce el resultado perseguido.

Tomemos un haz vectorial virtual en el sentido de una clase de homotopía de un mapa $$f\colon X\rightarrow \mathbb{Z}\times BO$$ con rango constante $n\in\mathbb{Z}$ . (El rango de un haz virtual en ese entorno es el mapa que se obtiene al componer $f$ con la proyección sobre el primer factor). Definir una filtración convergente $$X_{-n}\subseteq X_{-n+1}\subseteq...\subseteq X$$ a través de $$X_i\colon=f^{-1}(\{n\}\times BO_{n+i})$$ y denotar por $E_i\colon=f^*\gamma_{i+n}$ el haz de vectores sobre $X_i$ que se obtiene retirando el haz vectorial universal (i+n). Entonces se cumple $E_{i+1}|_{X_i}\cong E_i\oplus \mathbb{R}$ y ahora se puede seguir como de costumbre para obtener un espectro a partir de la secuencia $E_i$ es decir, el (i)-ésimo espacio del espectro $Th(f)$ es $E_i$ y los mapas estructurales se obtienen mediante los isomorfismos mencionados anteriormente.

Se puede demostrar entonces que el espectro depende únicamente de la clase de homotopía de $f$ hasta la equivalencia.

Si $f$ es un haz vectorial honesto (n)-dimensional esto reproduce la construcción habitual del espectro de Thom de un haz vectorial, que es equivalente al espectro de suspensiones del espacio de Thom asociado al haz. Si $f\colon X\rightarrow BO_n$ es un mapa clasificador para el haz el mapa uno compone f con la inclusión $BO_n\rightarrow BO$ y la involución canónica no trivial $\iota\colon BO\rightarrow BO$ de $BO$ para obtener un mapa $$X\rightarrow \{-n\}\times BO\rightarrow \mathbb{Z}\times BO,$$ que representa el haz inverso de $f$ . La construcción que he esbozado arriba con $\tilde{f}$ resultados en el espectro $Th(-f)$ se desea originalmente.