Las geodésicas en esferas son círculos máximos

Question

¿Cómo se puede demostrar que en $S^n$ (con la conexión estándar) cualquier geodésica entre dos puntos fijos es parte de un gran círculo?

Para el caso especial de $S^2$ intenté un enfoque ingenuo de simplemente escribir las ecuaciones geodésicas (escribiendo las ecuaciones de Euler-Lagrange de la función de longitud) y resolverlas para obtener algunas ideas, pero incluso si las ecuaciones son resolubles, no veo cómo demostrar que son grandes círculos. (las soluciones son algunas funciones bastante complicadas que no me dan mucha visión)

Revisé el artículo sobre Grandes Círculos en Wolfram Mathworld para un enfoque de geometría coordenada, ¡pero ese artículo me pareció bastante críptico!

Se sabe que en grupos de Lie compactos semisimples cualquier subgrupo de un parámetro genera una geodésica y $S^n$ es el cociente de 2 grupos de Lie compactos semisimples $SO(n+1)/SO(n)$. ¿Es útil esta línea de pensamiento para esta pregunta?

\================================================================================= Después de algunas respuestas, permítanme presentar "una" manera de ver lo anterior para $S^2$ (me pregunto si es correcto). Si $\theta$ y $\phi$ son las coordenadas estándar en $S^2$ entonces las ecuaciones para la curva son

$$\ddot{\theta} = \dot{\phi}^2 sin(\theta)cos(\theta)$$ $$\dot{\phi}sin^2{\theta} = k$$

donde $k$ es una constante determinada por los datos iniciales de la curva.

Ahora, dada la punto inicial, puedo elegir mi sistema de coordenadas de tal manera que los datos iniciales se vean como $\dot{\phi}=0$, $\theta = \text{alguna constante}$, $\dot{\theta}=\text{alguna constante}$, $\phi = \text{alguna constante}$. Luego, las ecuaciones diferenciales me dicen que $k=0$ y la única forma en que puede suceder durante el tiempo es teniendo,

$$\dot{\phi} = 0$$

Lo que claramente me da una longitud en este sistema de coordenadas. Por lo tanto, la ecuación geodésica me da como solución un gran círculo.

Ciertamente no es una prueba elegante como la referencia de Bar.

Pero espero que sea correcto.

{Como un amigo señaló que este conjunto de coordenadas está motivado por el hecho de que la forma en que se está parametrizando la "energía" de la curva, la componente z del momento angular se conserva, que de hecho son mis segundas ecuaciones de Euler-Lagrange}

Answer 1

Solo es necesario mostrar que las geodésicas que atraviesan un punto específico son todas de esa forma, y podemos hacer esto solo para el polo norte $N=(1,0,\dots,0)$, ya que el grupo de isometría de la esfera es transitable. Además, solo necesitamos considerar un vector tangente unitario en $N$, ya que el estabilizador de $N$ en el grupo de isometría de la esfera actúa de manera transitiva en los vectores unitarios en el espacio tangente en $N$. Entonces, sea $v=(0,1,0,\dots,0)$ la velocidad inicial de una geodésica $\gamma$ que parte de $N$. Dado que el mapa $(x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_1,x_2,-x_3,\dots,-x_n)$ preserva tanto el punto como el vector, la geodésica $\gamma$ también debe ser preservada por él. De ello se sigue inmediatamente que la curva está contenida en un círculo máximo.

Answer 2

Aunque José ha expresado prácticamente el mismo punto, solo quiero elaborar (esto es realmente solo un comentario, pero siempre me quedo sin espacio en el cuadro de comentarios).

Lo que nadie más ha mencionado explícitamente es que deberías tener problemas para resolver la ecuación de Euler-Lagrange para la funcional de longitud. La ecuación de Euler-Lagrange es una EDO de segundo orden, pero altamente degenerada. Y ya sabes esto antes de siquiera comenzar. ¿Por qué? Bueno, supongamos que tienes una solución. Entonces, si reparametrizas esa curva usando cualquier parametrización arbitraria (es decir, cualquier función monótona del parámetro original), la curva recién parametrizada sigue siendo una solución a la ecuación de Euler-Lagrange. Eso significa que la EDO tiene un espacio de soluciones de dimensionalidad infinita y no se parece en nada a cualquier EDO que aprendimos en nuestros cursos o libros de EDO.

Se necesita un truco para evitar esto, a saber, usar la llamada funcional de energía $E[\gamma] = \int_0^1 |\gamma'(t)|^2 dt$ (que no es invariante bajo reparametrización de la curva) en lugar de la funcional de longitud (que lo es). La desigualdad de Holder muestra que un mínimo de la funcional de energía es necesariamente un mínimo de la funcional de longitud que está parametrizado por una constante multiplicada por la longitud de arco, es decir, una geodésica de velocidad constante.

La ecuación de Euler-Lagrange para la funcional de energía es una agradable EDO de segundo orden no degenerada que puede ser manejada mediante técnicas y teoremas estándar de EDO.

En cuanto a la esfera estándar, hay muchas formas diferentes de resolver las geodésicas. Para revisar las formas ya sugeridas en otras respuestas:

1) Recomiendo que primero lo hagas sin la maquinaria de la geometría de Riemann y usando solo la estructura euclidiana de $R^{n+1}$. Usando la discusión anterior, deberías ser capaz de mostrar que una curva en la esfera unitaria es una geodésica de velocidad constante si y solo si su vector de aceleración siempre es normal a la esfera. Luego deberías poder trabajar en las soluciones a esta EDO. La sugerencia de que asumas que un punto es el polo norte y el otro se encuentra en un plano de coordenadas es buena y hace que la EDO sea fácil de resolver.

2) La otra forma es hacerlo todo intrínsecamente. Aquí, recomiendo usar coordenadas estereográficas y suponer que un punto es el origen en esas coordenadas. Una vez más, todo se vuelve muy fácil en esa situación.

3) Y la tercera forma es ver la esfera como un espacio homogéneo y usar fórmulas para esa situación. No recuerdo los detalles, pero los aprendí del libro de Cheeger y Ebin.

Recomiendo que trabajes a través de las 3 formas diferentes, así como cualquier otra forma que puedas encontrar.

Como han señalado otros, los cálculos para las geodésicas en el espacio hiperbólico son idénticos, excepto que estás trabajando con una "esfera unitaria" en el espacio de Minkowski en lugar del espacio euclidiano. Incluso hay una noción de proyección estereográfica (¿pero hacia qué?). También es divertido trabajar esto cuidadosamente.

Finalmente, quiero señalar que después de trabajar todo esto y tenerlo todo en tu cabeza, es una imagen y una historia realmente hermosas. Y si encuentras el ángulo correcto, todo es muy simple, así que puedes resolver los detalles por ti mismo y no depender de leer un libro línea por línea o que alguien más te muestre todos los detalles. Trata de obtener las ideas esenciales y los trucos necesarios (como usar la funcional de energía) de libros, conferencias o profesores, pero intenta resolver todo lo demás desde cero (es decir, minimizando la dependencia de teoremas que no puedas demostrar por ti mismo).

Answer 3

Un simple argumento que muestra que los grandes círculos son geodesics es que si parametrise de tal manera que ellos tienen de la unidad de velocidad, su aceleración es normal a la superficie. Para mostrar que todos los geodesics son grandes círculos, sólo tiene que utilizar la unicidad del problema de valor inicial para una geodésica después de darse cuenta de que a través de cada punto y en cualquier dirección hay un gran círculo.

Answer 4

Para $S^2$, consideraría tomar dos puntos en el ecuador, y ver si es más fácil de resolver. Dado que puedes usar isometrías para mover dos puntos arbitrarios al ecuador, eso debería demostrarlo para $S^2$. Para $S^n$ lo mismo debería funcionar.

Es el mismo truco que se utiliza para encontrar las geodésicas en la mitad superior del plano con la métrica hiperbólica, en realidad. Calculas las geodésicas entre dos puntos que están en una línea vertical, luego usas isometrías para encontrar el resto.

Answer 5

En realidad, es bastante fácil resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange incluso en el caso de S^n. Por favor, revisa el ejemplo 7.3 en la siguiente referencia, donde la esfera S^n está parametrizada por vectores unitarios en R^(n+1).