Conexión lineal y derivada covariante: se necesita ayuda para aclarar la confusión en la extensión de las definiciones

Question

Sea $\nabla$ sea una conexión lineal definida en el haz tangente de una variedad $M$ . Tenemos, con $X(M)$ siendo el módulo de secciones globales de $TM$ , $$\nabla: X(M)\to \Omega^1(M)\otimes X(M)$$ Podemos extenderlo como una derivación de grado 1 en el $\Omega^*(M)\otimes X(M)$ mediante la fórmula $$\nabla(\omega\otimes X)=d\omega\otimes X+(-1)^{r}\omega\wedge\nabla(X)$$ donde $\omega\in\Omega^r(M)$ y $X\in X(M)$

Por otra parte, una derivada covariante definida en $TM$ se extiende de forma única a los duales de campos vectoriales (es decir, campos covectores) y a campos tensoriales arbitrarios, lo que garantiza la compatibilidad con las operaciones de producto tensorial y traza (contracción tensorial). Por ejemplo, para $\omega\in \Omega^r(M)$ y $X, Y\in X(M)$ obtenemos $$\nabla_Y(\omega\otimes X)=\nabla_Y(\omega)\otimes X+\omega\otimes\nabla_Y(X)$$

Estoy confuso porque no consigo conciliar las dos fórmulas. ¿Qué es lo que no entiendo?

Answer 1

Su grado una extensión de $\nabla$ de $\mathcal{X}(M)$ a $$\Omega^{*}(M;TM) := \Omega^{*}(M) \otimes \mathcal{X}(M) = \Gamma(\Lambda^{*}(TM) \otimes TM)$$ suele indicarse mediante $d_{\nabla} \colon \Omega^{*}(M;TM) \rightarrow \Omega^{*+1}(M;TM)$ y se denomina derivada exterior covariante de $TM$ -formas diferenciales valoradas en $M$ . Explícitamente, $d_{\nabla}$ se come una sección de $\Lambda^k(T^{*}M) \otimes TM$ y devuelve una sección de $\Lambda^{k+1}(T^{*}M) \otimes TM$ . De esta descripción se desprende que $$d_{\nabla}^k \colon \Gamma(\Lambda^k(T^{*}M) \otimes TM) \rightarrow \Gamma(\Lambda^{k+1}(T^{*}M) \otimes TM)$$ no parece una conexión en algún paquete. Dicho de otro modo, el operador $d_{\nabla}^k$ come un $(k,1)$ tensor alterno en $M$ y devuelve un $(k+1,1)$ tensor alterno en $M$ .

Ahora, puedes usar tu identificación favorita (o incluso definición, dependiendo de cómo configures las cosas) y pensar en elementos de $\Omega^{k}(M;TM)$ como secciones especiales de $(T^{*}M)^{\otimes k} \otimes TM$ (general $(k,1)$ -tensores). Como ha señalado, la conexión $\nabla$ induce una conexión en varios haces asociados, por lo que obtenemos una conexión $\nabla^{(k,1)}$ en $(T^{*}M)^{\otimes k} \otimes TM$ que nos permite diferenciar $(k,1)$ tensores en $M$ . La conexión $$\nabla^{(k,1)} \colon \Gamma((T^{*}M)^{\otimes k} \otimes TM) \rightarrow \Gamma(T^{*}(M) \otimes ((T^{*}M)^{\otimes k} \otimes TM)) = \Gamma((T^{*}M)^{\otimes k + 1} \otimes TM)$$

(también conocida como "derivada covariante completa") se come una $(k,1)$ tensor en $M$ y devuelve un $(k+1,1)$ tensor en $M$ . Sin embargo, si lo alimentas con un $(k,1)$ - alternando tensor $\omega \otimes X$ no hay razón $\nabla^{(k,1)}(\omega \otimes X)$ será un $(k+1,1)$ -tensor alternativo.

Así, $d_{\nabla}^k$ y $\nabla^{(k,1)}$ son dos operadores diferentes. De hecho, si $\nabla$ es simétrico, entonces $d^k$ y $\nabla^{(k,1)}$ están estrechamente relacionados: el operador $d^k$ se obtiene hasta constantes combinatorias que dependen de sus convenciones como la antisimetrización de $\nabla^{(k,1)}$ . Para más información, véase aquí .