¿Pueden las subsecuencias ser finitas?

Question

Digamos que me dan la secuencia$\{a_1,a_2,a_3,\dots\}$. ¿Una subsecuencia tiene que ser infinita? ¿O puede ser finito también? Por ejemplo, ¿es$\{a_1,a_2,a_3\}$ una subsecuencia?

Answer 1

Sí, la subsecuencia debe ser infinita. Cualquier subsecuencia es en sí misma una secuencia, y una secuencia es básicamente una función de lo natural a lo real.

Answer 2

Normalmente, esta es la definición de larga.

Definición. Deje $\{p_n\}_n$ ser una secuencia (en algunas), y deje $n_1<n_2<n_3<\ldots$ ser estrictamente creciente secuencia de enteros positivos. A continuación, la secuencia $\{p_{n_j}\}_j$ se llama una larga de $\{p_n\}_n$.

De ello se desprende que $\{p_1,p_2,p_3\}$ no es un subsequence de $\{p_n\}_n$, desde $n_1=1$, $n_2=2$, $n_3=3$, pero, ¿qué es $n_4$? Este es el sentimiento común de matemática de los analistas.

Sin embargo, debemos ser cuidadosos, ya que todo se reduce a la definición de la secuencia. En el análisis, una sucesión es una función de $\mathbb{N} \to X$ o, más en general, una función de $N \to X$ donde $N \subset \mathbb{N}$ es tal que $N$ contiene todos los suficientemente grandes enteros. En otras disciplinas, puede ser útil para llamar la secuencia de cualquier función definida en un subconjunto de a $\mathbb{N}$, incluso un número finito de uno.

Answer 3

Una secuencia en un conjunto$X$ es una función$f:\mathbb{N}\rightarrow X$. Deje que$g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ sea una secuencia estrictamente creciente, luego la composición de$f$ y$g$, se llama una subsecuencia de$f$. Por lo tanto, el dominio de una subsecuencia es siempre infinito, pero el rango ciertamente puede ser finito.

Como ejemplo, considere la secuencia$f(n):=n$ par$n$ y$f(n):=1$ impd$n$. Dejar $g(n):=2n+1$. El rango de$f\circ g$ es igual a$\{1\}$, que es finito.

Answer 4

En mi experiencia, el término subsecuencia siempre se ha referido a una subsecuencia infinita. Creo que esto es estándar. Si desea considerar subsecuencias finitas, debe decir subsecuencia finita , o si desea considerar subsecuencias que pueden o no ser finitas, puede decir subsecuencia finita .

Answer 5

Una secuencia (real, conjuntos, etc ...) es simplemente una lista. En matemáticas, a menos que se especifique, una lista finita (es decir, secuencia) no se denota como una secuencia. Una secuencia DEBE continuar sin impedimentos.

Por definición, una secuencia de números reales es un mapeo de N -> R. La naturaleza de esta definición demuestra que una secuencia finita no puede existir bajo nuestra consideración actual.