Hay varias formas de atacar a preguntas como esta. La más general es la de transformar su definición de la ecuación (tales como, por $\sqrt{-7}$, lo que voy a utilizar como ejemplo de tipo) en algo a lo que Hensel del Lema se aplica. Si usted no ha visto Hensel, les voy a mostrar otro método.
Recordemos que Hensel dice que si tienes un polinomio $f(X)\in\mathbb Z_p[X]$ con la propiedad de que al reducir sus coeficientes modulo $p$, se obtiene la factorización en primos relativos de los factores, entonces usted puede conseguir un correspondiente de la factorización de la espalda en $\mathbb Z_p[X]$, de tal manera que uno de los "ascensores" tiene el mismo grado que el factor característico de la $p$.
Permítanme darles un ejemplo no relacionado a $\sqrt{-7}$ primera. Mira el polinomio $pX^4 +X^2+X + 1$. Entonces, cuando usted mira esto como un polinomio sobre $\mathbb Z/p\mathbb Z=\mathbb F_p$, se obtiene la factorización $1\cdot(X^2+X+1)$. Hensel dice que puedes factor de su original en la forma $g\cdot h$ donde $g$ sólo tiene un coeficiente no divisible por $p$, que es su término constante; y $h$ es de grado $2$ (como $X^2+X+1$), y además, todos los coeficientes son congruentes a $1$ modulo $p$.
Ahora echemos un vistazo a la búsqueda de una raíz cuadrada de $-7$$\mathbb Z_2$. El polinomio $f(X)=X^2+7$ no es bueno para Hensel, 'causa en el carácter $2$, es una plaza: tu factores no son relativamente primos. Pero si $f(X)=X^2+7$,$g(X)=f(X+1)$$X^2+2X+8$, si tenemos en cuenta este factor sobre $\mathbb Z_2$, estamos bien. Aún así, esta $g$ no es bueno para Hensel, pero mira $h(x)=\frac14g(2X)=X^2+X+2$ Ahora la factorización en el carácter de los dos es $X^2+X=X\cdot(X+1)$, los factores son primos relativos, por lo que Hensel se aplica, y se obtiene un elemento $(\sqrt{-7}-1)/2$$\mathbb Z_2$, y por lo tanto una raíz cuadrada de $-7$.
Para otros primos de dos, $\sqrt{-7}$ es mucho más fácil. Ver el $p=11$, por ejemplo. Aquí, $X^2+7\equiv X^2-4\pmod{11}$, y esto sin duda factores en dos relativamente factores primos, así que usted puede ver inmediatamente que $\sqrt{-7}\in\mathbb Z_{11}$. De hecho, para los números primos diferentes de $2$, $\sqrt{-7}\in\mathbb Z_p$ si y sólo si $-7$ es un cuadrado modulo $p$, y de un criterio general para cuando esto sucede, se llama en la Reciprocidad Cuadrática.
Ahora te voy a mostrar una forma más elemental método de búsqueda de $\sqrt{-7}$$\mathbb Z_2$, utilizando el Binomio de expansión de $(1+a)^{1/2}$. Si alguna vez has escrito varios términos de esta expansión hacia abajo, te has dado cuenta de que la única denominadores son potencias de $2$,y los exponentes en la $2$ no crecen demasiado rápido. En particular, cuando se escriba la expansión de $(1-8)^{1/2}$, todos los coeficientes son números enteros, y los coeficientes además son más y más altamente divisible por $2$. Así que esta serie es de Cauchy en $\mathbb Z_2$, y tiene un límite, una raíz cuadrada de $-7$.
Otra forma sería la de aplicar Newton-Raphson para encontrar una raíz de $X^2+7$, a partir de la "casi-root" $1$. Esta es la idea de la "bebé" formulario de Hensel del Lema, y es en realidad la manera más rápida de llegar a ($p$-adic) numérico raíz de una ecuación. Pero ya he escrito demasiado.
