Demuestre que$n^3 > (n+1)^2$ para$n>2$ usando inducción matemática

Question

¿Es la siguiente manera correcta de mostrar que$n^3 > (n+1)^2$ para$n>2$ usando inducción matemática? ¡Gracias de antemano!

$P(n): n^3>(n+1)^2$

$P(3): 3^3>(3+1)^2$

$27 > 16$ (correcto)

$P(k): k^3>(k+1)^2$

Supongamos que$P(k)$ es verdadero.

$P(k)$$\implies$$P(k+1)$?

$k^3+3k^2+3k+1>(k+1)^2+3k^2+3k+1$

$(k+1)^3>(k+1)^2+3k^2+3k+1$

$(3k-2)(k+1)>0$$\forall$$k\in N$

$\implies 3k^2+k-2>0$

$\implies 4k^2+5k+2>k^2+4k+4$

$\implies (k^2+2k+1)+3k^2+3k+1>(k+2)^2$

$\implies (k+1)^2+3k^2+3k+1>(k+2)^2$

Por lo tanto,$P(k) \implies P(k+1)$

Por lo tanto, por el principio de inducción matemática$P(n)$ es verdadero$\forall n>2$

Answer 1

Eso se ve bien, pero aquí hay una manera más simple de hacer el paso inductivo: asumiendo$k\ge3$ y$k^3>(k+1)^2$, tenemos $$ \ eqalign {(k +1) ^ 3 & = k ^ 3 +3k ^ 2 +3k +1 \ cr &> (k +1) ^ 2 +3 +2k +0 \ cr & = k ^ 2 +4k +4 \ cr & = (k +2) ^ 2 \. \ Cr} $$