Notación: probablemente voy a ser un poco desordenado, y absorbe una gran cantidad de constantes como es habitual con este tipo de cosas.
Si $f$ es en el espacio de Schwartz, a continuación, $f$ es infinitamente derivable (en particular continuo), y $f$ (así como sus derivados) caen más rápido que cualquier polinomio. Ahora, queremos dividir la integral
$$
u(x,t) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)H_t(y)~dy = a + B
$$
en las dos integrales a $A$$B$, de modo que tenemos un buen control tanto de $A$$B$. Si decidimos dividir la integral en un dominio compacto y su complemento, entonces ya tenemos un buen control en $g$ sobre conjuntos compactos y de control global en $|f(x-y)|$ (desde $f$ es un Schwartz función) es fácil control de la $A$ $|x|$ sobre el pacto de dominio; el problema es lidiar con $f(x-y)H_t(y)$ cerca de infinito.
Con eso dicho, ¿cómo debemos elegir nuestro dominio compacto? $H_t(y)$ decae rápidamente como $|y|\to\infty$, por lo que el problema es cómo lidiar con $|f(x-y)|$, e $|f(x-y)|$ son los siguientes: $\sup|f(z)|<\infty$ desde $f$ es un Schwartz función. Ya que tenemos el control sobre la integral en términos de $|x|$ esto no nos ayuda, pero podemos pasar de la dependencia de la $x$ a $H_t$ a través de
$$
\int_\Omega f(x-y)H_t(y)~dy = \int_\Omega f(y)H_t(x-y)~dy.
$$
Así que esta integral es delimitada por
$$
\left|\int f(y)H_t(x-y)~dy\right| \leq C\left|\int H_t(x-y)~dy\right| \leq \frac{C}{\sqrt{t}}\left|\int e^{\frac{-|x-y|^2}{4t}}~dy\right|.
$$
Este último término es
$$
\left|\int_\Omega e^{(-|x|^2 + 2x\cdot y - |y|^2)/4t}~dy\right|
\leq e^{-\frac{-|x|^2}{4t}}\left|\int_\Omega e^{\frac{2|x||y|}{4t}}e^{\frac{-|y|^2}{4t}}~dy\right| = e^{-\frac{-|x|^2}{4t}}\int_\Omega e^{|y|(2|x|-|y|)/4t}~dy.
$$
Ahora solo nos falta el control de $e^{|y|(2|x|-|y|)/4t}$, y aquí es donde podemos elegir nuestra $\Omega$. Al $|y|$ es grande en comparación con $|x|$, $2|x|-|y| \sim -|y|$ es negativo y el integrando se comporta como
$$
e^{|y|(2|x|-|y|)/4t} \sim e^{-|y|^2/4t},
$$
lo que sabemos es integrable. A través de esta heurística dejamos $\Omega = \{y:|y|\geq |x|/m\}$. A continuación, en $\Omega$,
$$
e^{|y|(2|x|-|y|)/4t} \leq e^{|y|(2m|s|-|y|)/4t} = e^{(\frac{1}{2}m-\frac{1}{4})|y|^2/t}
$$
y para hacer de $\frac{1}{2}m - \frac{1}{4}$ negativo elegimos $m < \frac{1}{2}$, decir $m = \frac{1}{2+\epsilon}$. Por lo $\Omega = \{y:|y| > (2+\epsilon)|x|\}$ va a trabajar. Así que nos dividimos la integral en
$$
u(x,t) = \int_{|y| \leq (2+\epsilon)|x|} f(x-y)H_t(y)~dy + \int_{|y| \geq (2+\epsilon)|x|} f(x-y)H_t(y)~dy = a + B.
$$
$A$ está delimitado por $C/(1+|x|)^N$ debido a que el comportamiento de esta integrando es dominado por $|f(x-y)|$ $f$ es un Schwartz función, mientras que $B$ está delimitado por
$$
\frac{C}{\sqrt{t}}e^{-|x|^2/4t}\int_{|y| \geq (2+\epsilon)|x|} e^{-D|y|^2/t}~dy \leq \frac{C}{\sqrt{t}}e^{-|x|^2/4t}
$$
donde $D>0$. Esto nos lleva de la deseada límites
$$
|u(x,y)| \leq \frac{C}{(1+|x|)^N} + \frac{B}{\sqrt{t}}e^{-D|x|^2/t}.
$$
Precaución, $D$ depende de la elección de $\epsilon$. Si uno es más cuidadoso que uno podría ser capaz de deshacerse de la $\epsilon$ en la definición de $\Omega$, pero si usted sólo desea que estos límites, el valor preciso de $m$ no es importante siempre y cuando sea lo suficientemente pequeño.
