$Y=\epsilon$ en GLM?

Question

En general modelo lineal$$Y=X\beta +\epsilon $ $

el LSE para$\beta$ es$$\hat \beta=(X^TX)^{-1}X^TY$ $ y entonces$$\hat Y=X\hat \beta=X(X^TX)^{-1}X^TY=HY$ $ donde$H=X(X^TX)^{-1}X^T$.

Entonces el residuo es$$E=Y-\hat Y=(I_n-H)Y$ $

Sustituir$Y=X\beta +\epsilon$ obtenemos$$E=(I_n-H)X\beta+(I_n-H)\epsilon=X\beta-X(X^TX)^{-1}X^TX\beta+(I_n-H)\epsilon=(I_n-H)\epsilon$ $

Al observar las dos últimas expresiones, obtenemos$$E=(I_n-H)Y=(I_n-H)\epsilon$ $ ¿Entonces$Y=\epsilon$? ¿Es esto correcto? ¿Qué significa esto? ¿Alguien podría explicar cómo viene esto?

Answer 1

No, no es correcto. Deje $A$ $n \times n$ matriz y $w, v$ $n-$vectores. Pensar acerca de bajo qué condiciones $Av = Aw$ implica $v = w$ y comprobar si esas condiciones para su caso.

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Aquí hay dos maneras de demostrar que no invertibility. Ellos pueden requerir que usted lea acerca de las proyecciones y las matrices de proyección.

Para mostrar que $Q:=I_n - H$ no es invertible en general, usted puede notar que si $Q$ es invertible, entonces sus columnas span $\mathbb R^n$, como cualquier conjunto linealmente independiente de $n-$vectores. Esto significa que el complemento ortogonal del espacio columna de a $Q$ es el vector cero. Pero el complemento ortogonal del espacio columna de a $Q$ es la columna espacio de $X$. Por lo tanto, $Q$ es invertible iff $X = 0$.

Otra manera de argumentar de que $Q$ a no es invertible, es demostrar que las matrices de proyección tiene valores propios que son o $1$ o $0$. Por lo tanto, si $Q$ es invertible, todos sus autovalores son $1$, pero esto implica que todos los autovalores de a $H$ son cero, que a su vez implica que $X = 0$.