Evaluar la integral $\int_0^1 x^p (1-x)^{-1}\, dx$

Question

Estoy atascado en la siguiente pregunta del libro de Análisis Real de Folland (capítulo 2, problema 31b).

Deriva la siguiente fórmula expandiendo parte del integrando en una serie infinita y justificando la integración término a término. Para p > -1, $$\int_0^1 x^p (x-1)^{-1} dx = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(p+k)^2}$$

Puedo expandir el segundo factor como una serie de potencias, pero no veo cómo eso me ayuda. Peor aún, ni siquiera veo cómo esto puede ser correcto. Tomando por ejemplo $p=0$ Me sale

$$\int_0^1 (x-1)^{-1} dx = \int_{-1}^0 \frac{du}{u} = - \int_{0}^1 \frac{dy}{y}$$

que hasta donde yo sé no converge. No estoy seguro entonces si Folland quiso decir para $p \in (-1,0)$ o para $p > -1, p \neq 0$ o si el problema es simplemente incorrecto. O tal vez me estoy perdiendo algo obvio. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Como dijo John Dawkins en un comentario posterior a la publicación del PO, al PO le falta un factor de $\log(x)$ en el integrando. Sin ese factor, el integrando tiene una singularidad no removible en $x=1$ y la integral diverge. Ahora procedemos a evaluar la "integral corregida" que tiene el factor $\log(x)$ en el integrando.

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Para $p>-1$ tenemos

$$\int_0^1 x^{p+n}\log(x)\,dx=-\frac{1}{(p+n+1)^2}\tag1$$

A continuación, sumando $(1)$ en $n$ revela

$$\begin{align} -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p+n)^2}&=\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 x^{p+n}\log(x)\,dx\\\\ &=\lim_{N\to \infty}\int_0^1 \frac{x^p(1-x^{N+1})}{1-x}\,\log(x)\,dx\tag 2 \end{align}$$

Observando que para $x\in [0,1]$ , tienen $\left|\frac{x^p(1-x^{N+1})}{1-x}\,\log(x)\right|\le -2\frac{x^p}{1-x}\log(x)$ y que $0\le \int_0^1 -2\frac{x^p}{1-x}\log(x)\,dx<\infty$ el teorema de convergencia dominante garantiza que podemos intercambiar el límite con la integral del lado derecho de $(2)$ rinde

$$-\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(p+n)^2}=\int_0^1 \frac{x^p}{1-x}\,\log(x)\,dx$$

¡como se iba a demostrar!