Intenté graficar las funciones$y = x^{.42}$ y$y = (x^{42})^{\frac{1}{100}}$. Desde mi entendimiento de las leyes de la exponenciación, estas dos expresiones deben ser equivalentes. Lo que descubrí después de representar estas dos funciones es que eran equivalentes para todos los números reales no negativos. La diferencia entre estas dos funciones fue que el dominio de$y = (x^{42})^{\frac{1}{100}}$ es$( -\infty, \infty)$ mientras que el dominio de$y = x^{.42}$ es$[0, \infty)$. Me preguntaba si alguien podría explicar por qué el dominio de estas dos funciones es diferente.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Cómo definir $x^a$ arbitrarias de los números reales $x$ $a$ (4 respuestas )
Respuestas
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Considere dos funciones:$f(x)=x^{\frac{1}{100}}$ y$g(x)=x^{42}$. Luego,$f$ tiene el dominio$[0, \infty)$ y$g$ tiene el dominio$\mathbb{R}$. Ahora considere las funciones de composición \begin{align*} f(g(x))& =f(x^{42})=\left(x^{42}\right)^{\frac{1}{100}}\\ g(f(x))& =g(x^{\frac{1}{100}})=\left(x^{\frac{1}{100}}\right)^{42} \end {align *} El dominio de$f(g(x))$ es$\mathbb{R}$ porque utiliza$D_g=\mathbb{R}$ y su rango está en$[0,\infty)$, mientras que el dominio de$g(f(x))$ tiene que ser un subconjunto de$D_f=[0,\infty)$. Por lo tanto las dos composiciones son funciones diferentes.
user21820
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Ninguna de las respuestas existentes han identificado correctamente el problema:
Usted debe saber exactamente lo que la definición de la exponenciación está utilizando.
Hay al menos dos incompatible definiciones que son de uso común.
Ambos de estas dos definiciones satisfacer $x^{ab} = (x^a)^b$ reales positivos $x$ y racional $a,b$.
Ninguna de las definiciones razonables siempre puede satisfacer $x^{ab} = (x^a)^b$ negativos $x$.
Mostrar (4) basta considerar:
$-1 = (-1)^{1/5} = ((-1)^3)^{1/5} \overset{???}{=} (-1)^{3/5} = (-1)^{.6} = (-1)^{6/10} \overset{???}{=} ((-1)^6)^{1/10} = 1^{1/10} = 1$. (MAL!!!)
Por favor refiérase a este post y este post para una explicación detallada de los dos enfoques posibles para correctamente definir exponenciación, así como los dos comunes, pero incompatible definiciones para los poderes racionales negativos reales.
Studer
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1050
Puedes calcular$x^{42}$ para cualquier número real, y obtendrás un número no negativo (porque$42$ es par), y así puedes tomar la raíz$100^{\rm th}$.
Para calcular$x^{.42}$, depende de su definición. Puede observar que$.42=42/100$ y realizar el cálculo anterior, y el dominio volverá a ser$(-\infty,\infty)$.
Pero en general, los poderes arbitrarios se definen por $$ x ^ r: = e ^ {r \, \ log x}, $$ que requiere$x\geq0$. Por lo tanto, si utiliza esta última definición, el dominio sería$[0,\infty)$.
fleablood
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Para$b > 0$ entonces$b^{n/m}=\sqrt [m]{b^n} $ está bien definido, mientras que la misma definición para$b < 0$ no lo está. Si$b < 0$ por ejemplo, entonces$b^{3/2} = \sqrt {b^3} $ no se define como$b^3$ es negativo. Pero$3/2 = 6/4$ hace que$b^6$ sea positivo por lo que es posible una cuarta raíz.
Entonces, tenga en cuenta:$.42=42/100 =21/50$ pero$42/100$ no está en los términos más bajos. Esto importa ya que$b^{21}$ será negativo si$b $ es pero$b^{42} $ será positivo.
Por lo tanto, para$b $%,$b^{n/m} = b^{2m/2n} $ no negativo, pero para$b $ negativo que ya no se cumple.
