Dado cualquiera de los dos conjuntos$X, Y \subset \mathbb{A}^n$, ¿tenemos$\overline{X} \times \overline {Y} = \overline {X \times Y}$?

Question

Dados cualesquiera dos conjuntos de $X, Y \subset \mathbb{A}^n$, tenemos $\overline{X} \times \overline {Y} = \overline {X \times Y}$?

Utilizamos Zarski la topología en $\mathbb{A}^n$$\mathbb A^{2n}$. Ya que producto de la topología en $\mathbb A^{2n}$ está contenida en el Zarski topología, sabemos $\overline{X} \times \overline {Y} \supset \overline {X \times Y}$ porque $\overline{X} \times \overline {Y}$ es un cerrado en la topología producto por lo tanto es un conjunto cerrado en Zarski topología que contiene $X\times Y$.

Estoy teniendo problemas para probar el otro lado, y también es difícil encontrar contador de ejemplos, porque la igualdad se mantiene cerrados (algebraica) de los conjuntos o cuasi variedades de $X,Y$, y cada subconjunto de $\mathbb{A}^1$.

Answer 1

Arreglar cualquier $y\in Y$, nos muestran que la primera $\overline{X}\times \{y\}\subset \overline{X\times\{y\}}$, que es la misma como la demostración de que cualquier polinomio $f$ que se desvanece en $\overline{X\times\{y\}}$ también desaparecen en ${\overline{X}\times\{y\}}$.

Note primero que $I(A)=I(\overline{A})$ para cualquier conjunto $A$ en algunos afín espacio, por lo que es suficiente para mostrar que si $f$ se desvanece en ${X\times\{y\}}$, también se desvanece en ${\overline{X}\times\{y\}}$. Para ver esto, pensamos en $f$ como un elemento en $k[x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1\cdots,y_m]$. Por lo tanto, $f(x_1,\cdots,x_n,y)\in k[x_1,\cdots,x_n]$ que se desvanece en $X$. Por la observación al principio de este párrafo de nuevo, sabemos $f(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)$ se desvanece en $\overline{X}$. Esto demuestra que $f$ se desvanece en ${\overline{X}\times \{y\}}$. Desde $y$ es arbitrario, esto significa que ${\overline{X}\times Y}\subset\overline {X\times Y}$.

Repita este argumento, uno puede mostrar que ${\overline{X}\times \overline{Y}}\subset \overline{{\overline{X}\times Y}}\subset \overline{X\times Y}$.