Grupo de Galois de$x^3+2x+2$

Question

Dejar $f(x)=x^3+2x+2 \in \mathbb{Q} [x]$. Encuentra el grupo de Galois de$f$.

Estaba tratando de encontrar las raíces de$f$, pero no pude. El maestro nos dijo que no era necesario encontrar todas las raíces. Sé que dado que el grado de$f$ es impar, tiene al menos una raíz en$\mathbb{R}$, por ejemplo,$r$.

Ahora, según el criterio de Eisenstein con$p=2$, tenemos que$f$ es irreductible en$\mathbb{Q} [x]$.

Entonces no sé cómo continuar o cómo usar esa información.

Agradecería su ayuda, gracias!

Answer 1

He aquí un teorema general que se adapte a su problema a la perfección:

Si $f$ es un polinomio irreducible de primer grado $p$ con coeficientes racionales y exactamente dos raíces reales, entonces el grupo de Galois de $f$ es el total de grupo simétrico $S_p$. [Wikipedia]

$f(x)=x^3+2x+2$ tiene sólo una raíz real debido a $f'(x)>0$, por lo que su grupo de Galois es $S_3$.

También se puede argumentar directamente. Desde $f$ tiene exactamente dos nonreal raíces, compleja conjugación induce un elemento de orden $2$ en el grupo de Galois. Desde el grupo de Galois tiene un grado mínimo de $3$ y en la mayoría de las $6=3!$, se debe tener un orden $6$. Sólo queda probar que no es abelian.

Answer 2

Cúbico:

Cúbico es irreducible si no tiene raíz. Por el teorema racional de raíces, las únicas raíces posibles son$\pm1$,$\pm2$, pero ninguna de ellas es raíz, por lo que no tiene raíces, por lo que es irreductible (alternativamente, Eisenstein con$p=2$) asid asid

Es un grupo cúbico, por lo que el grupo Galois es un subgrupo de$S_3$. Es irreducible, por lo que el grupo Galois tiene al menos$3$ elementos. Entonces es$A_3$ o$S_3$.

Su discriminante es$-140$, que no es un cuadrado, por lo que es$S_3$.