ayuda con una bizarra integral

Question

He tratado de hacer esta integral, pero sin suerte.

$$\int_1^\infty \frac{\left \{x \right \}}{x}\left(\frac{1}{x^{s}-1}\right) \; dx$$

$\Re(s)>1 $ , $\left \{x \right \} $ es la función fraccionaria de diente de sierra.

He probado la expansión de Fourier de la función diente de sierra:

$$ \int_{1}^\infty \frac{\left \{x \right \}}{x}\left(\frac{1}{x^s - 1}\right)\; dx = \int_1^\infty \frac{1}{x(x^{s}-1)}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(2\pi i nx)}{n} \right) \; dx$$

$$=\int_1^\infty\frac{1}{x(x^s-1)}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi i}\ln \left(\frac{1-q^2}{1-q^{-2}} \right)\right ) \; dx$$

donde $ q $ es el nome : $ q=e^{i \pi x}$

después de algunas manipulaciones, la integral se reduce a :

$$\frac{1}{2\pi i }\int_1^\infty \frac{\left(\pi i +\ln(-e^{2\pi i x}) \right )}{x(x^s - 1)} \; dx$$

pero eso no me ha llevado a ninguna solución!! ¿alguna sugerencia de cómo hacer la integral?

Answer 1

Dudo que encuentres una forma cerrada para esto. ¿Tienes razones para creer que debería haber una? Aquí hay algo que puedes hacer para obtener una expansión en serie, siguiendo el enfoque del comentario de Michael:

$$ \begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\frac{\left \{x \right \}}{x}\frac{1}{x^{s}-1}\mathrm dx &=& \int_{1}^{\infty}\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x}\sum_{j=1}^\infty x^{-js}\mathrm dx \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\int_{1}^{\infty}\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x} x^{-js}\mathrm dx \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\left(\int_{1}^{\infty}x^{-js}\mathrm dx-\int_{1}^{\infty}\lfloor x\rfloor x^{-js-1}\mathrm dx\right) \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\left(\frac1{js-1}-\sum_{k=1}^\infty\int_k^{k+1}kx^{-js-1}\mathrm dx\right) \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\left(\frac1{js-1}+\sum_{k=1}^\infty k\frac1{js}\left((k+1)^{-js}-k^{-js}\right)\right) \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\left(\frac1{js-1}-\sum_{k=1}^\infty \frac1{js}k^{-js}\right) \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\left(\frac1{js-1}-\frac{\zeta(js)}{js}\right) \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\frac{js(1-\zeta(js))+\zeta(js)}{js(js-1)} \\ &=& \sum_{j=1}^\infty\frac{1-\zeta(js)}{js-1}+\sum_{j=1}^\infty\frac{\zeta(js)}{js(js-1)}\;, \end{eqnarray} $$

donde reescribí las fracciones al final para mostrar que la suma converge.