¿ACH+NJA $(\mathbb{R})$ ¿decidir el problema de Suslin?

Question

Empecemos con un par de axiomas en el lenguaje de ZFC.

ACH. Hipótesis del anticontinuo.

El cardenal $|\mathbb{R}|$ es un punto fijo aleph: es decir,

$$|\mathbb{R}| = \aleph_{|\mathbb{R}|}$$

(Compárese con CH, que dice $|\mathbb{R}| = \aleph_1$ .)

NJA $(\mathbb{R})$ . No hay axioma de salto para la línea real.

Para todos los cardenales $\kappa,$ que tenemos:

$$\kappa < |\mathbb{R}| \rightarrow 2^\kappa \leq |\mathbb{R}|$$

En conjunto, estos axiomas nos dan un enorme desierto de cardenales $\kappa$ tal que $2^\kappa = |\mathbb{R}|$ . Aquí hay una pequeña porción inicial de ellos:

$$\aleph_0, \aleph_1,\aleph_2, \ldots \aleph_{\omega},\aleph_{\omega+1},\ldots, \aleph_{\aleph_1}, \ldots\aleph_{\aleph_\omega},\ldots$$

Bien. Se sabe que el problema de Suslin es independiente tanto de la CH como de la $\neg$ CH. Espero que la combinación de ACH (que es significativamente más fuerte que $\neg$ CH) y la suposición de que un montón de cardenales ahora satisfacen $2^\kappa = |\mathbb{R}|$ será un poco más opinable en este tema.

Pregunta. ¿Podemos utilizar de alguna manera estos cardenales para construir un Línea Suslin ¿o bien demostrar que no existe la línea Suslin?

En otras palabras, ¿la ACH+NJA $(\mathbb{R})$ ¿decidir el problema de Suslin?

Answer 1

No, estos axiomas no son suficientes: Son consistentes con $\mathsf{MA} $ (en presencia de inaccesibles, por ejemplo), lo que implica que no hay líneas de Suslin. Pero añadir un real de Cohen añade líneas de Suslin (esto es un resultado de Shelah) y no afecta a la aritmética cardinal.