Estadísticas del juego del Monopoly

Question

El otro día estaba jugando una partida de monopolio, y en el curso de la estrategia se me ocurrió la idea de que lo "seguro" que estabas en el juego era una cuestión de lo que tu ingreso/resultado esperado era mientras ibas alrededor del tablero. Pensé que sería un proyecto divertido hacer un programa de ayuda que calculara estos valores en base a una configuración del tablero dada, pero descubrí que las estadísticas se complicaban demasiado para mí.

Al principio iba a sumar la cantidad de costes potenciales que podrías tener en cada ficha (excluyendo las cartas de Azar y Cofre Comunitario para simplificar), y dividir por 40, el número de fichas en el tablero, para obtener el valor esperado. Pero me di cuenta de que en realidad no es el valor esperado porque no vas a caer en todas las fichas, y definitivamente no vas a caer en 40 fichas en el curso de atravesar el tablero. En este punto, me imagino que hay varias suposiciones que podría hacer: la tirada media es 7, 40 losetas divididas por siete pasos son ~5,7 vueltas, así que podría dividir los costes totales por eso para obtener un valor esperado, pero eso parece una suposición demasiado amplia en este caso: podría haber demasiada variación en el número de vueltas para obtener una proyección precisa, creo.

Me preguntaba si alguien más hábil con la estadística podría echarme una mano con esto: ¿cuál es el valor esperado de sus costes al atravesar el tablero del monopolio? Tenía la intención de ignorar el azar y el pecho de la comunidad y ser enviado a la cárcel, ya que parecían complicar demasiado el modelo, pero si alguien puede incorporar esos efectos estaría interesado en verlos.

Answer 1

Tu idea inicial era correcta: el coste esperado al atravesar el tablero una vez es el coste total dividido por la tirada esperada. Para ver esto, imagine que avanza a lo largo de una línea muy larga de casillas tirando dos dados de seis caras por turno. Después de un gran número $n$ de rollos, habrás avanzado por $7n$ cuadrados más alguna desviación del orden de $\sqrt n$ , por lo que habrás acertado con una fracción $\frac17$ de los cuadrados con una desviación del orden de $1/\sqrt n$ que va a $0$ como $n\to\infty$ . Así, a largo plazo, cada plaza tiene una probabilidad $1/7$ de ser golpeado en cualquier travesía. Así, por linealidad de la expectativa, sólo hay que sumar los costes y dividir por $7$ para obtener los costes esperados por travesía.

(Donde dice "dividir los costes totales entre eso", parece que "eso" se refiere al $5.7$ - hay que dividir por $7$ la tirada esperada por turno).

P.D: Quizás ahora entiendo por qué querías dividir por $5.7$ - ¿quieres calcular el coste esperado por turno, no por travesía? En ese caso, debería dividir el coste total del tablero por $40$ El número de baldosas, ya que eso te da el coste medio por baldosa y vas a caer exactamente en una baldosa (si ignoramos la complicación de que vuelves a tirar cuando obtienes dobles).