Independencia lineal de $\sin(x)$ y $\cos(x)$

Question

En el espacio vectorial de $f:\mathbb R \to \mathbb R$, ¿cómo puedo demostrar que las funciones $\sin(x)$ y $\cos(x)$ son linealmente independientes? Por definición, dos elementos de un espacio vectorial son linealmente independientes si $0 = a\cos(x) + b\sin(x)$ implica que $a=b=0$, pero ¿cómo puedo formalizar eso? ¿Dando diferentes valores a $x$? Gracias de antemano.

Answer 1

Pista: Si $a\cos(x)+b\sin(x)=0$ para todo $x\in\mathbb{R}$ entonces esto es especialmente cierto para $x=0,\frac{\pi}{2}$

Answer 2

Hay formas más fáciles, por ejemplo tomando valores especiales para $x$. La siguiente técnica es un martillo en este caso, pero útil tenerla cerca.

Supongamos que tienes $a$ y $b$ como se requiere. Deja que $r=\sqrt{a^2+b^2}$ y $\phi = \arctan {\frac a b}$ (toma $\phi=\frac {\pi} 2$ si $b=0$). Entonces tenemos: $$a \cos (x)+b\sin(x)=r\sin(\phi)\cos(x)+r\cos(\phi)\sin(x)=r\sin(x+\phi)$$

La última forma es idénticamente cero solo si $r=0$, lo que implica inmediatamente que $a=b=0$ a partir de la definición de $r$.

Answer 3

Una manera de mostrar la independencia lineal es usar el Wronskiano de $f$ y $g$, denotado por $$W(f,g)(x):=\begin{vmatrix}f(x) & g(x)\\ f'(x) & g'(x)\end{vmatrix}=f(x)g'(x)-g(x)f'(x), \quad x\in I.$$

Existe un teorema clásico que dice que si $f,g$ son diferenciables en $I$ y $W(f,g)(x_0)\not=0$ para algún $x_0\in I$, entonces $f$ y $g$ son linealmente independientes en $I$.

Entonces, en tu caso, $$W(\sin x,\cos x)=\sin x\cdot (-\sin x)-\cos x\cdot \cos x=-\sin^2 x-\cos^2 x=-1\not=0 \text{ para cualquier }I,$$ por lo tanto $\sin x$ y $\cos x$ son linealmente independientes en cualquier intervalo $I$.

Answer 4

$$b\sin(x)=-a\cos(x)$$ El lado izquierdo es impar, el lado derecho es par, por lo tanto no pueden ser iguales para todos los $x$, ya que si las funciones son iguales para (digamos) $x$ positivos, deben ser iguales en magnitud pero con signos opuestos para $x$ negativos, a menos que $a=b=0$ (esto es cierto en general para todos los pares de funciones pares e impares no nulas).

Answer 5

Si ambos son linealmente dependientes, entonces, al suponer $ x \neq 0 $ o $ n\pi $ para $ n \in \mathbb Z $.

$$\cos(x)/\sin(x) = -b/a$$

ahora dejemos que $x = \pi/2$ entonces $b = 0$;

pero luego $$ a\sin(x) = 0$$ dejemos $ x = \pi/2$ entonces $$a =0$$