Necesito demostrar que el número de primos hasta $n$ (es decir $\pi(n)$ ) es $O(n/\log n)$ . En el ejercicio anterior de esta pregunta demostré que ${\displaystyle \sum_{i=1}^{\pi(n)}\log p_{i}} \leq Cn$ para alguna constante $C$ (donde $p_i$ es el i-ésimo número primo) . Pensé que tenía que hacer algo como $${\displaystyle \sum_{i=1}^{\pi(n)}\log p_{i}\geq\sum_{i=\lfloor\pi(n)/2\rfloor}^{\pi(n)}\log p_{i}\geq\frac{\pi(n)}{2}\cdot\log p_{\frac{\pi(n)}{2}}} ,$$ y entonces si muestro que $\log p_{\frac{\pi(n)}{2}}=O(\log n)$ entonces puedo probar lo que necesito, pero no lo he conseguido. Estoy un poco sin ideas en este momento. ¿Alguna pista gente?
Respuestas
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La función que tienes del ejercicio anterior es la función Función Chebyshev . Llamémoslo $A(x)$ .
Ahora puede utilizar La identidad de Abel para demostrar lo que busca.
Ya ha demostrado
$$ \sum_{1 \lt k \le x} a(k) = A(x) \le cx$$
(donde $a(x) = \log x$ si $x$ es primo, y $0$ de lo contrario)
(mira el enlace de la Identidad de Abel para entender la elección de la notación)
Para utilizar el teorema de Abel, tomamos $f(x) = \frac{1}{\log x}$
Y consigue
$$ \pi(x) = \sum_{1 \lt k \le x} \frac{a(k)}{\log k} \le \frac{cx}{\log x} + \int_{2}^{x} \frac{c}{\log ^2 t}\text{d}t = O\left(\frac{x}{\log x}\right)$$
Nota: Lo que intentas demostrar es mucho más débil que el teorema de los números primos.
Raghav
Puntos
28
Por supuesto, la suma parcial es la forma más instructiva de hacerlo. Sin embargo, aquí hay otra respuesta que no depende de nada:
Suponiendo que hayamos demostrado $$\sum_{p \leq x} \log p \leq C x,$$ para alguna constante positiva $C>0$ y todos $x >1,$ tenemos $$\Big(\pi(x)-\pi(x^{\frac{1}{2}}) \Big)\log(x^{\frac{1}{2}}) \leq \sum_{x^{\frac{1}{2}}<p\leq x} \log p \leq C x.$$ Utilizando ahora el límite trivial $\pi(x^{\frac{1}{2}})\leq x^{\frac{1}{2}},$ obtenemos que $$\pi(x)\leq 2C \frac{x}{\log x}+x^{\frac{1}{2}} =O(\frac{x}{\log x}). $$
