¿Cómo puedo escribir el producto de dos transposiciones como producto de 3-ciclos?

Question

Considere la posibilidad de que esta igualdad en el grupo $S_n$ :

$$(ab)(cd)=(cad)(abc)$$

Puedo comprobarlo por mí mismo, pero me da la impresión de que yo debería ser capaz de ver esto muy rápidamente. ¿Cómo podría obtener más de la intuición en esto ?

$$ un \desbordado{(abc)}{\mapsto} b \desbordado{(cad)}{\mapsto} b \\ b \desbordado{(abc)}{\mapsto} c \desbordado{(cad)}{\mapsto} \\ c \desbordado{(abc)}{\mapsto} \desbordado{(cad)}{\mapsto} d \\ d \desbordado{(abc)}{\mapsto} d \desbordado{(cad)}{\mapsto} c \\$$

Answer 1

En vez de seguimiento a través de donde elementos de mapas, también puede derivar de este ciclo básico manipulaciones: $$(cad)(abc) = (dca)(cab) = (dc)(ca)(ca)(ab) = (dc)(ab)$$

Las dos reglas que estoy utilizando son

1. $(a_1\ldots a_n) = (a_2\ldots a_na_1)$
2. $(a_1\ldots a_n) = (a_1a_2)(a_2a_3)\cdots(a_{n-1}a_n)$