Uso del Teorema de Picard para demostrar infinito de ceros para $\exp(z)+Q(z)$

Question

Supongamos que $Q(z)$ es un polinomio no constante. A continuación, mostrar que la función $$f(z)=\exp(z)+Q(z)$$ tiene infinitos ceros.

Mi idea es mostrar que $\infty$ es una singularidad esencial, por tanto, por Picard del teorema $f(z)$ asume que cada número complejo infinitamente veces, excepto en valor posible. Me quedé con la posibilidad de que $0$ puede ser la excepción, si $Q(z)=z$,por lo tanto, usamos el periódico $2\pi i$ y un Poco del teorema de Picard para obtener el resultado. Pero para general polinomio no puedo encontrar el periódico.

Answer 1

Supongamos que sólo hay un número finito de ceros. Desde $f(z)$ es toda una función de género 1, el de la factorización de Hadamard teorema nos permite escribir $$f(z)=e^z+Q(z)=e^{\alpha z+\beta} P(z) \tag{1} $$ where $P$ es un polinomio.

Deje $n=\deg Q+1$, tenemos $$Q^{(n)}(z)=\frac{d^n}{dx^n} \left[e^{\alpha z+\beta} P(z)-e^z \right] $$ which simplifies to (using the product rule) $$e^z = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\alpha^k P^{(n-k)}(z) e^{\alpha z+\beta} $$ or $$e^{z-\alpha z-\beta}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\alpha^k P^{(n-k)}(z) $$ Desde el lado izquierdo no tiene ceros, debemos tener $\deg P=0$ (de lo contrario el polinomio en el lado derecho se tiene una raíz). Además nos encontramos con que el lado izquierdo es constante, lo que significa que $$e^{z}=C e^{\alpha z+\beta} .$$ Plugging this into $(1)$ we get $$Q(z)=(P(z)-C)e^{\alpha z+\beta} $$ but a function of the form $Un e^{\alpha z+\beta}$ (don't forget that $P$ es constante) es un polinomio iff es una constante. Esta es una contradicción.