Dejemos que $\Lambda=\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\sqrt{3}i$ y $E(\mathbb{C})=\mathbb{C}/\Lambda$ . Sea $\beta=1+\sqrt{3}i$ . Demostrar que $\beta \in End(E)$ . ¿Cuál es el núcleo de $\beta$ ? ¿Cuál es el grado de $\beta$ ?
Entiendo que toda curva elíptica compleja tenía una uniformización $\mathbb{C}/\Lambda$ pero no estoy seguro de cómo mostrar explícitamente que un número complejo dado $\beta$ reside dentro del endomorfismo de $E$ ?
El anillo de endomorfismos de $E$ es el anillo de los números complejos $\alpha$ tal que $\alpha\Lambda\subseteq \Lambda$ . Así, para demostrar que $\beta$ define un endomorfismo sólo hay que demostrar que $\beta\Lambda\subseteq \Lambda$ . El núcleo de $\beta$ es el conjunto de todos los $P\in E(\mathbb C)$ tal que $\beta(P)=O$ . Elección de un paralelogramo fundamental para $\Lambda$ como la definida por $1$ y $\sqrt{3}i$ necesitas encontrar todos los números complejos dentro del paralelogramo que mapean a un punto de $\Lambda$ cuando se multiplica por $\beta$ . Entonces el grado de $\beta$ es la cardinalidad del núcleo.
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