Mostrar que si $a>e$, la ecuación de $az^n=e^z$ admiten $n$ raíces en la unidad de disco teorema de Rouché

Question

Teorema de Rouché : Vamos a $D \subset \mathbb{C}$ un domaine y $f,g: D \to \mathbb{C}$ dos holomorphic funciones en $D$. Deje $C$ un camino cerrado contenida en el interior de $D$. Si $|f(z)+g(z)| < |f(z)|+|g(z)|$, $\forall z \in \mathbb{C}$, a continuación, $f$ $g$ tienen el mismo número de ceros en el interior de $C$.

Pregunta : Mostrar que si $a>e$, la ecuación de $az^n=e^z$ admiten $n$ raíces en la unidad de disco.

Así que me he tomado $f(z)=-az^n+e^z$ $g(z)= az^n$ en el uso de la ruta cerrada $C : |z|=1$. He obtenido $|-az^n+e^z+az^n|= |e^z| \leq |-az^n+e^z|+|az^n|$, $\forall z \in C$.

¿Cómo podría yo demostrar que $|e^z| \not= |-az^n+e^z|+|az^n|$?

Answer 1

Sugerencia. En $\{\lvert z\rvert=1\}$ hemos $$ \lvert\mathrm{e}^z\rvert\le \mathrm{e}<\le \lvert az^n-\mathrm{e}^z\rvert+\lvert az^n\rvert. $$