Hay una forma alternativa de resolver esta integral?

Question

Me fue dada la integral $$\int \frac{2}{e^{-x}+1}dx$$ Este es mi método para obtener la (correcta) solución: $$\int \frac{2}{e^{-x}+1}dx$$ $$=2\int \frac{1}{e^{-x}+1}dx$$ $$=2\int \frac{e^xe^{-x}}{e^{-x}+e^xe^{-x}}dx$$ $$=2\int\frac{e^x}{1+e^x}dx$$ Deje $u=e^x+1$ $du=e^xdx$

Por lo que se convierte $$2\int\frac{1}{u}du$$ $$=2 \ln|u|+c$$ $$=2 \ln(e^x+1)+c$$ Hay una forma alternativa de hacer esto? Mi primer pensamiento fue que, cuando llegué a $$=2\int\frac{e^x}{1+e^x}dx$$ escribir como $$=2\int\frac{e^x+1-1}{1+e^x}dx$$ como se hace para $$=2\int\frac{x+1-1}{1+x}dx$$ pero se convierte en lugar $$2\int1-\frac{1}{1+e^x}dx$$ donde no parece $u$de sustitución de trabajo.

Answer 1

También puede utilizar el Brioche reglas:

Tome $t = \tanh x/2$:

$$ dt = \frac {dx}{2\cosh^2x/2} \\ \int \frac{e^x dx}{1 + e^x} = \int \frac{e^{x/2} dx}{e^{-x/2} + e^{x/2}} = \int \frac{e^{x/2} dx}{2\cosh x/2} = \frac12 \int \frac{1 + e^{x} dx}{2\cosh^2 x/2} $$

A continuación, utilice la expresión de $\tanh^{-1}$: $$ \tanh^{-1}(t) = \frac 12\log\frac{1+t}{1-t} \\ \implica e^{x} = \frac{1+t}{1-t} \\ %%%%% \int \frac{e^x dx}{1 + e^x} = \frac12 \int \left(1 + \frac{1+t}{1-t} \right)dt = \int \frac{dt}{1-t} = -\log(1-t) \\= -\log(1 - \tanh x/2) = -\log \frac 2{1 + e^{2x}} = \log \frac {1 + e^{2x}}2 = \log (1 + e^x) + const. $$