Encuentre un ejemplo como $\frac{(x+y)^{x+y}(y+z)^{y+z}(x+z)^{x+z}}{x^{2x}y^{2y}z^{2z}}=2016$

Question

Supongamos que $x,y,z$ sean enteros positivos, y Encuentre un ejemplo $(x,y,z)$ tal $$\dfrac{(x+y)^{x+y}(y+z)^{y+z}(x+z)^{x+z}}{x^{2x}y^{2y}z^{2z}}=2016$$

Answer 1

$2016 = 2^5*3^2*7$

Así que ahora deseamos encontrar

$$ x,y,z \in \Bbb{N}$$

tal que

$$ \frac{(x+y)^{x+y}(y+z)^{y+z}(x+z)^{x+z}}{x^{2x}y^{2y}z^{2z}} = 2^5*3^2*7$$

Está claro que al menos uno de $(x+y), (y+z)...$ va a ser par (para conseguir esa potencia de 2), Pero fíjate bien en la potencia de 2, tiene un exponente impar

Obsérvese que el numerador puede ser un producto de la forma

$$ \text{odd}^{\text{odd}} \times \text{odd}^{\text{odd}} \times \text{odd}^{\text{odd}}$$ $$ \text{even}^{\text{even}} \times \text{odd}^{\text{odd}} \times \text{odd}^{\text{odd}}$$ $$ \text{even}^{\text{even}} \times \text{even}^{\text{even}} \times \text{even}^{\text{even}}$$

(hasta la permutación), y los denominadores deben ser necesariamente de la forma

$$ \text{odd}^{\text{even}} \times \text{odd}^{\text{even}} \times \text{odd}^{\text{even}}$$ $$ \text{even}^{\text{even}} \times \text{odd}^{\text{even}} \times \text{odd}^{\text{even}}$$ $$ \text{even}^{\text{even}} \times \text{even}^{\text{even}} \times \text{even}^{\text{even}}$$

Por lo tanto, si el numerador debe ser dividido al máximo por $2^k$ este término tendrá incluso k.

Y si el denominador debe ser dividido al máximo por $2^j$ esta legislatura también tendrá un $j$ .

Así que esta expresión, sólo es divisible por $2^{j-k}$ donde $j-k$ es uniforme, sin embargo, aquí afirmamos que resulta en $2^5$ que tiene un exponente impar, una contradicción.

Por lo tanto, concluimos que no hay solución.

Answer 2

Algo así nunca ocurrirá. ¿Por qué? Porque 2016 es divisible por 7. Veamos qué se puede decir de la potencia de 7 en la descomposición primaria de esta expresión. Las de $x,\;y,\;z,\;x+y,\;y+z,\;z+x$ que no son divisibles por 7, no aportan nada. Los que sí lo son, aportan (suman o restan) un múltiplo de sí mismos, y por tanto un múltiplo de 7. Pero $2016=2^5\cdot3^2\cdot7^1$ y 1 no es un múltiplo de 7.

(El mismo razonamiento podría aplicarse al 2 o al 3, por supuesto).