Demostrar que una función es inyectiva utilizando que $f'(x)\ne0$

Question

Dada una función diferenciable $f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ que debemos demostrar que es inyectiva, ¿basta con demostrar $f'(x)!=0$ para todos $x$ (para la que se define la función)? Tiene sentido, por supuesto, debido al teorema del valor medio, pero tal vez hay algunas sutilezas que me estoy perdiendo ya que este método no parece ser utilizado muy a menudo.

Answer 1

Sí, con esto basta.

Para verlo supongamos $f$ es diferenciable en el dominio considerado pero no inyectiva. Entonces $f(a)=f(b)$ para algunos $a,b$ con $a\neq b$ y por el teorema del valor medio la derivada tiene un cero entre $a$ y $b$ .

La mayoría de las veces una función no se puede describir mediante una función diferenciable, por lo que este método se utiliza con menos frecuencia que la demostración directa de la afirmación. En álgebra y teoría general de conjuntos, por ejemplo, este método no se aplica nunca.

Answer 2

Sí, basta con demostrar que $f'(x) \neq 0$ para todos $x$ .

Una forma de demostrar la suficiencia es utilizar Teorema de Darboux . De este teorema se deduce que si tenemos $a,b$ tal que $f'(a) > 0$ y $f'(b) < 0$ entonces existe un $c$ tal que $f'(c) = 0$ .

Así, si tenemos $f'(x) \neq 0$ para todos $x$ podemos concluir que $f'(x) \geq 0$ o $f'(x) \leq 0$ para todos $x$ . Así, $f'(x) > 0$ para todos $x$ o $f'(x) < 0$ para todos $x$ ya que nunca tenemos $f'(x) = 0$ . La conclusión es la siguiente.

Answer 3

Hay un poco de sutileza. La propiedad del valor medio funcionará si puedes concluir que $f'$ es siempre positivo o siempre negativo. Pero, ¿cómo se llega a esta conclusión a partir de $f' \neq 0$ ?

Si se supone que la derivada es continua, será suficiente, porque si se sabe que $f'$ es positivo en algún punto, y nunca cero, entonces debe seguir siendo positivo, por el teorema del valor intermedio aplicado a $f'$ .

Pero incluso si usted no asume $f'$ es continua, todavía se puede concluir $f'$ sigue siendo estrictamente positiva o estrictamente negativa, porque una derivada siempre ha el propiedad de valor intermedio a saber:

Si $f'(x) = a$ y $f'(y) = b$ y $a<c<b$ entonces hay algún punto entre $x$ y $y$ donde $f'(x)=c$ .

Esto es cierto incluso si $f'$ no es continua. Para ver cómo puede cumplirse una pero no la otra, consideremos la función $$x \mapsto \begin{cases} \sin (1/x) & \text{if } x \neq 0 \\ 0 & \text{if } x =0, \end{cases}$$ que tiene la propiedad de valor intermedio pero no es continua en cero*. Esto permite concluir que si $f'$ nunca es cero, debe ser estrictamente positivo o estrictamente negativo.

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*Y de hecho es la derivada de una función, a saber $x^2 \cos(1/x) - 2 \int_0^x \xi \cos(1/\xi) \, d\xi$ .

Answer 4

Es una pregunta interesante, y tengo algunas ideas. Tiene razón en que $f'(x)\neq 0$ implica $f$ es inyectiva. He aquí algunas razones por las que creo que no suele utilizarse:

• Las funciones inyectivas diseñadas para utilizarse fácilmente en problemas de teoría de conjuntos pueden no ser diferenciables.
• En cuanto al uso de funciones inyectivas, las funciones $\mathbb R\to\mathbb R$ se utilizan menos que las funciones entre espacios más complicados, donde no se aplica el teorema del valor medio.
• En los cursos introductorios, cuando se describe por primera vez la inyectividad, aún no se ha introducido rigurosamente la diferenciación.
• Esta condición no es necesaria para la inyectabilidad.

Answer 5

Sí. Esto es simplemente el teorema de la función inversa. Si $f$ es continuamente diferenciable con derivada distinta de cero en algún punto $a$ entonces $f$ es invertible en una vecindad de $a$ .