Demostrar que $ 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = \displaystyle \frac{4n^3 -n}{3} $

Question

Demostrar que $ 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = \displaystyle \frac{4n^3 -n}{3} $ . A continuación le proporciono la respuesta.

Answer 1

Demostramos que $ 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = \displaystyle \frac{4n^3 -n}{3} $ .

Caso base: Sea $ n=1 $ . Entonces

$ 1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2 = (2*1-1)^2 = 1 = \displaystyle \frac{4*1^3 - 1}{3} = \frac{4n^3 -n}{3} $ .

Paso inductivo: Supongamos que $ 1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2 = \displaystyle \frac{4k^3 -k}{3} $ para algunos $ k \in \textbf{N} $ .

Demostramos que $ 1^2 + 3^2 + ... + (2k-1)^2 + (2(k+1)-1)^2 = \displaystyle \frac{4(k+1)^3-(k+1)}{3} $ .

Debido a la suposición, basta con demostrar que

$ \displaystyle \frac{4k^3-k}{3} + (2(k+1)-1)^2 = \displaystyle \frac{4(k+1)^3-(k+1)}{3} $ .

Tenga en cuenta las siguientes expansiones

$ 4(k+1)^3 - (k+1) = 4k^3 + 12k^2 + 12k + 4 - k - 1 = 4k^3 + 12k^2 + 11k + 3 $

y

$ (2(k+1)-1)^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 +4k + 1 $ .

Así que $ \displaystyle \frac{4k^3-k}{3} + (2(k+1)-1)^2 = \frac{4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3}{3} = \frac{4k^3 + 12k^2 + 11k + 3}{3} $

$ = \displaystyle \frac{4(k+1)^3-(k+1)}{3} $ .

Answer 2

La etiqueta dice "inducción", así que primer paso: demostrar que

$$\sum_{i=1}^n i^2=\frac {n(n+1)(2n+1)}6$$

por inducción.

Segundo paso: Dado que

$$f(n)=\sum_{i=1}^n i^2=\frac {n(n+1)(2n+1)}6$$

tenemos

$$f(2n-1)=\frac {2n(2n-1)(4n-1)}6=\frac {n(2n-1)(4n-1)}3$$ $$4f(n-1)=2\frac {n(n-1)(2n-1)}3=4\sum_{i=1}^{n-1} i^2=\sum_{i=1}^{n-1} (2i)^2$$

y

$$f(2n-1)-4f(n-1)=\sum_{i=1}^n(2i-1)^2=\frac{n(2n-1)(4n-1)}3-2\frac{n(n-1)(2n-1)}3$$ $$=\frac{(n(4n-1)-2n(n-1))(2n-1)}3=\frac {(4n^2-n-2n^2+2n)(2n-1)}3$$ $$=\frac{(2n^2+n)(2n-1)}3=\frac{4n^3-n}3$$