Encuentra el resto cuando la suma se divide por $1000$

Question

Encuentre $S \pmod{1000}$ dado: $$S = \sum_{n=0}^{2015} n! + n^3 - n^2 + n - 1$$

$$S_0 = 0! + 0 - 0 + 0 -1 = 0$$ $$S_1 = 1! + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$$ $$S_2 = 2! + 8 - 4 + 2 - 1 = 7$$

Esto no está ayudando, así que:

$n! = n(n-1)(n-2)...(1)$ pero eso es demasiado complicado.

Le site $n!$ término es el más difícil. Además de eso:

$$S = \sum_{n=0}^{2015} n! + \frac{2015^2 2016^2}{4} - \frac{(2015)(2016)(4031)}{6} + \frac{2015(2016)}{2} - 2015$$

$$\equiv \sum_{n=0}^{2015} n! + 25(4) - 15(336)(31) + 15(8) - 15 \pmod{1000}$$

Por favor, ofrezca pistas, ¡gracias!

Answer 1

CONSEJO :

Desde $1000=2^3\cdot 5^3$ , tenga en cuenta que $$15!\equiv 0\pmod{1000}.$$ Por lo tanto, tenemos $$\sum_{n=0}^{2015}n!\equiv \sum_{n=0}^{\color{red}{14}}n!\pmod{1000}$$