La integración de una función con u-sustitución

Question

Estoy tratando de averiguar cómo integrar esta función. He probado varios trucos de mi caja de herramientas, pero me parece que no puede averiguar.

$$\int\ \frac {e^{2x}-6e^x}{e^x+2}\ dx$$

Así que vamos a decir que me factor de algunos términos y dividir la ecuación:

$\int\ \frac {e^{2x}}{e^x+2}\ dx$ $-6\int\ \frac {e^x}{e^x+2}\ dx$

Ahora no puedo ver cómo la derivada de $e^{2x}$ $e^x+2$ o viceversa. Cuando se mira en el otro lado, parece más razonable establecer $u$$e^x$. Así que vamos a ello:

$-6\int\ \frac {e^x}{e^x+2}\ dx$ = $-6\int\ \frac {u}{u+2}\ dx$

Bueno, así como usted puede ver, yo no llegar a ninguna parte aquí. Soy realmente nuevo en $u$-y la sustitución de integración parcial, probablemente me lo perdí algunos paso crucial.

Answer 1

$$\int\ \frac {e^{2x}-6e^x}{e^x+2}\ dx$$

Vamos $\displaystyle e^x + 2 = u$.$^{\color{blue}{(1)}}$

Por lo $\displaystyle e^x = u-2$, y por lo $\displaystyle e^{2x} = (u-2)^2$.

$\color{blue}{(1)}$ $\displaystyle e^x \ dx = du \iff \ dx = \frac{du}{e^x}$ , Pero el recuerdo de arriba, que $\displaystyle e^x = u-2$.

Así que, en realidad, $\displaystyle \color{blue}{dx = \frac{du}{u-2}}$.

Que nos da la integral

$$\begin{align} \int \frac{(u-2)^2 - 6(u-2)}{u\cdot \color{blue}{(u-2)}}\ \color{blue}{du} & = \int \frac{(u-2) - 6}{u}\,du \\ & = \int \frac{u-8}{u}\,du \\ &= \int \left(1- \frac 8u\right)\ du = \end{align}$$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

El truco es ver que $e^{2x}$ puede ser fácilmente cambiado y que compremos. Empezamos con la integral. $$\int \frac {e^{2x}-6e^x}{e^x+2}~ {\rm d}x$$ Podemos utilizar el hecho de que $a^{mn} = (a^m)^n$ a cambio de este a $$\int \frac {(e^x)^2-6e^x}{e^x+2}~ {\rm d}x = \int \frac {e^x(e^x - 6)}{e^x+2}~ {\rm d}x$$ A continuación, podemos utilizar la sustitución de $u = e^x +2$ ${\rm d}u = e^x{\rm d}x$ y resolver a partir de ahí. $$\int \frac {u - 8}{u}~ {\rm d}u = \int \left(1 - \frac{8}{u}\right){\rm d}u = u - 8\ln|u| + C$$ Nosotros, a continuación, sustituir el equivalente a $u$. $$e^x + 2 - 8\ln|e^x + 2| + C$$ Ahora también podemos decir que el $2$ puede convertirse en parte de la constante $C$ y eliminar el valor absoluto, ya que $e^x + 2 > 0$ $x\in\mathbb{R}$ nos da una respuesta final de $$e^x - 8\ln\left(e^x + 2\right) + C$$

Answer 3

$$\int{\frac{e^{2x}-6e^x}{e^x+2}dx}=\int{\frac{e^{2x}}{e^x+2}dx}-6\int{\frac{e^x}{e^x+2}dx}$$ Sustitución: $u=e^x+2$, $\frac{du}{dx}=e^x=u-2\to dx=\frac{1}{u-2}du$

África en la primera mitad de la integral:

$$\int{\frac{(u-2)^2}{u(u-2)}du}=\int{\frac{u-2}{u}du}=\int{1-\frac{2}{u}du}=u-2\ln|u|+C$$

Y la segunda mitad de la integral se obtiene:

$$\int{\frac{u-2}{u(u-2)}du}\to\int{\frac{1}{u}du}=\ln|u|+C$$

Así, en general se obtiene: $$u-2\ln|u|-6\ln|u| +C=u-8\ln|u|+C$$

Answer 4

Sugerencia: $$\frac{e^{2x}-6e^x}{e^x+2}= \frac{e^{2x}}{e^x+2}-\frac{6e^x}{e^x+2}$$

Además sugerencia: Deje $u=e^x+2$ $dx=\frac{du}{e^x}$

Así que al sustituir esto en la primera, se convierte en $\int\frac{u-2}{u}du$. Verificar esta cuidadosamente.

Answer 5

A mí me parece que está casi hecho. Usted ha reducido el problema de la integración de $-6\int \frac{e^x}{e^x+ 2}dx$. Ahora vamos a $u= e^x+ 2$. A continuación,$du= e^xdx$, de modo que la integral se convierte en $-6\int \frac{1}{u}du$.