Primer teorema de representación de las formas sesquilíneas: ¿cuál es el papel del "núcleo"?

Question

En el primer teorema de representación aparece la noción de núcleo de una forma sesquilínea. ¿Cuál es la intuición detrás de esta noción, en el contexto de este teorema y en general? Agradezco cualquier comentario o respuesta.

( He aquí algunas definiciones y antecedentes . Todos los extractos proceden de la obra de Kato Teoría de la perturbación para operadores lineales , pp.308-322.)

Answer 1

La definición de núcleo se da en el mismo libro de Kato que has citado en la página 317 para una forma sectorial cerrada y en la página 166 para un operador cerrado.

Me refiero a esto último (pero lo primero es un caso particular).

Si $T: X \rightarrow Y$ es un operador cerrado y $\mathbf{D}(T)$ i subespacio $\mathbf{D}$ de $\mathbf{D}(T)$ es un núcleo de $T$ i $\mathbf{G}=\{ (u,Tu) : u \in \mathbf{D} \}$ i el gráfico $\mathbf{G}(T)$ de $T$ .

Obsérvese que el cierre de $\mathbf{G}$ está en la topología inducida en $X\times Y$ .

Como intuición creo que podemos ver un núcleo $\mathbf{D}$ como subespacio del dominio de $T$ tal que si tomamos una restricción del operador $T$ a este subespacio podemos reconstruir su grafo mediante los valores en $\mathbf{D}$ tomar límites de secuencias convergentes $(u_n,Tu_n)$ para $u_n \in \mathbf{D}$ .