La falacia del jugador y la ley de los grandes números

Question

¿Puede alguien explicarme, cómo la Ley de los Grandes Números y la Falacia del Jugador no se contradicen.

El La falacia del jugador dice, que no hay memoria en la aleatoriedad y cualquier secuencia de eventos tiene la misma probabilidad que cualquier otra secuencia.

Sin embargo, el Ley de los grandes números dice que, dadas suficientes repeticiones, es probable que ocurra un cierto evento.

A mi entender, estos dos tipos se contradicen entre sí porque uno dice que no se puede predecir ningún evento aleatorio, pero el otro lo dice (con suficientes repeticiones, por supuesto).

Por ejemplo, imagina una serie de lanzamientos de monedas donde la moneda sale cara un millón de veces. La falacia del jugador dice que la posibilidad de que el próximo lanzamiento sea cruz es todavía la mitad. Sin embargo, la ley de los grandes números dice, que ya que suficientes repeticiones de lanzamientos han salido cara, el próximo lanzamiento es más probable que sea cruz. (¿Qué es definitivamente incorrecto?)

Answer 1

Cualquier secuencia tiene la misma probabilidad que cualquier otra, pero hay más secuencias que son "equilibradas" que cualquier otra proporción dada. Por ejemplo, si lanzo una moneda 4 veces, hay 6 maneras de obtener 2 caras y 2 colas. Sin embargo, sólo hay una forma de obtener todas las caras.

La falacia del jugador compara secuencias individuales (por ejemplo, las secuencias HHHHH y HHHHT).

La LLN habla de grupos de secuencias - dice en qué grupos es más probable que esté su resultado.

Answer 2

La palabra clave aquí para mí es dado .

...que dado suficientes repeticiones...

Tu cita de la Falacia del Jugador menciona que no hay memoria en el azar, lo cual es cierto, los eventos son independientes. Pero el uso de la palabra "dado" introduce la memoria y los eventos futuros se vuelven "dependientes".

Si te pregunto:

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos caras (de una moneda justa) seguidas?

Su cálculo sería:

$$ P(A \& B) = P(A) \times P(B) ={1\over 2} \times {1\over 2} = {1\over 4} $$

Si te pregunto:

Dado que acabo de sacar cara, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos caras seguidas?

Su cálculo es:

$$ P(A | B) = { P(A \& B) \over P(A) } = {{1\over 2} \times {1\over 2} \over {1 \over 2}} = {1 \over 2} $$

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_{<em>Sería bueno si alguien pudiera comprobar mis matemáticas. Hace unos 10 años que no hago estadísticas.</em>}

Answer 3

Este es un post antiguo, pero me sorprende mucho que ninguna respuesta hasta ahora señale la cuestión exacta, es decir, el error exacto en la supuesta contradicción (aunque la respuesta de @Deusovi quizá lo haga, implícitamente).

OP escribe:

Por ejemplo, imagine una serie de lanzamientos de monedas en los que la moneda sale cara un millón de veces. La [refutación de la] falacia del jugador dice que la probabilidad de que el siguiente lanzamiento sea cruz sigue siendo 1/2. Sin embargo, la ley de los grandes números dice que, dado que suficientes repeticiones de lanzamientos han salido cara, es más probable que el siguiente lanzamiento sea cruz. (Lo cual es definitivamente erróneo )

Efectivamente, la frase en negrita es errónea. Es decir no lo que dice la ley de los grandes números (Es, más bien, exactamente lo que la falacia del jugador cree falsamente.) Lo que la ley de los grandes números dice es que si se observa una secuencia muy larga de lanzamientos de monedas, y se asume que es una moneda justa, entonces de media Esperamos que la mitad de ellas sean cara y la otra mitad, cruz.

Eso significa que si tu primer millón de lanzamientos dan todos cara, tienes dos opciones:

Opción A ) Sigue asumiendo que es una moneda justa, y sigue lanzando. Entonces, la ley de los grandes números dice que el siguiente millón de lanzamientos de la moneda debería ser aproximadamente la mitad de caras y la mitad de cruces, así que después de eso (pero todavía contando su primer millón de caras), empezando con su sólida fe en que la moneda es justa, ahora es más razonable esperar ver una proporción de aproximadamente $$\dfrac{1'500'000 \text{ heads}}{2'000'000 \text{ tosses}} \text{ versus } \dfrac{500'000 \text{ tails}}{2'000'000 \text{ tosses}},$$ es decir, una relación de $75\% : 25\%$ . Si se tira diez millón de veces más después de su millón de cabezas inicial, LLN le dice que espere $$\dfrac{6'000'000 \text{ heads}}{11'000'000 \text{ tosses}} \text{ versus } \dfrac{5'000'000 \text{ tails}}{11'000'000 \text{ tosses}},$$ es decir, una relación de $\approx 54.5\% : 45.5\%$ . Si se tira mil millones veces más después de su millón de cabezas inicial, LLN le dice que espere $$\dfrac{501'000'000 \text{ heads}}{1'001'000'000 \text{ tosses}} \text{ versus } \dfrac{500'000'000 \text{ tails}}{1'001'000'000 \text{ tosses}},$$ es decir, una relación de $\approx 50.05\% : 49.95\%$ .

Lo que observamos aquí se llama regresión a la media, y aquí es un post donde el comentario superior y la respuesta dicen lo mismo que quiero decir con lo anterior. La Ley de los Grandes Números no hace ninguna afirmación sobre la probabilidad del "próximo" lanzamiento de una moneda. Si es que hace alguna afirmación (por cierto, se puede dudar de que meta-matemáticamente, cf. 1 , 2 (y nótese cómo intenté redactar las cosas con cuidado arriba en "basado en la suposición de una moneda justa... lo más razonable de esperar..."), entonces hace una declaración sobre el promedio de todos los lanzamientos . Dicho vagamente, el hecho de que la proporción (aquí) llegue a 50:50 es no se debe a que el numerador de la derecha "se pone al día, con más colas ahora" pero debido a que el denominador se hace más grande, y la secuencia más larga acaba por hacer que el primer millón sea bastante insignificante.

Opción B ) Descartar la suposición de que la moneda está lejos. Es una pregunta muy interesante cómo justificar eso y plantear alguna suposición "mejor" sobre la (in)equidad de la moneda. (La pregunta enlazada pregunta básicamente lo mismo que tú en este párrafo; fíjate en que la mayoría de las respuestas también empiezan diciendo que tenemos las dos opciones A y B de las que hablo aquí; la respuesta del usuario307169 reitera lo que he dicho en la opción A; la respuesta de Mark Fischler dice cómo, si te decantas por la opción B, te enfrentas ahora a una nueva dicotomía entre los enfoques frecuentista y bayesiano; y la respuesta de Hayden da lo que creo que es el enfoque bayesiano más atractivo sobre qué hacer después en la opción B). Sin embargo, entonces la Ley de los Grandes Números simplemente ya no se aplica y por lo tanto no hace ninguna declaración (en particular, ninguna declaración sobre lo que es probable en el próximo lanzamiento).

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Ya ves que, de cualquier manera, la ley de los grandes números no dice lo que pretende decir.

Por cierto, yo personalmente me decantaría por la opción B.

Answer 4

La solución es que a largo plazo los números observados de cara y cruz irán a sus valores esperados, pero el tiempo para llegar allí es infinito.

http://www.ifa.com/articles/gambler_fallacy_misuse_large_numbers