El comportamiento de las soluciones a una potencia de la igualdad de

Question

Supongamos $$ a^k(1-a)^{n-k}=b^m(1-b)^{n-m},$$ donde $0<a,b<\frac{1}{2}$ son números reales, $n,k,m$ son enteros positivos, $0<k<m<n$.

Cómo probar que $a<b$?

Me estoy sintiendo esto debería ser trivial, pero de alguna manera estoy atascado...

(Esto está relacionado con esta cuestión, por cierto)

Answer 1

$a<b$ no puede ser verificada. Deje $k=1,m=2$ y deje $n$ se mueve. A continuación, vamos a estudiar : $$a(1-a)^{n-1}=b^2(1-b)^{n-2} \Leftrightarrow \frac a b \left( \dfrac {1-a}{1-b}\right)^{n-1}=\dfrac b {1-b}.$$

Pero, tenemos las siguientes :

$$\forall a,b \in (0,1/2) \text{ s.t. } 0<a<b \implies \dfrac{1-a}{1-b}>1.$$

Entonces : $$\underset{n \to \infty} \lim \dfrac a b \left( \dfrac {1-a}{1-b}\right)^{n-1}=\infty.$$

Por lo tanto, si $n$ es lo suficientemente grande, la igualdad no se producen desde $\frac b {1-b} <1$.