¿Qué es la forma cerrada de expresión para $F(n)$ al $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ y $F(0)=a$,$F(1)=b$ y $a,b>0$?

Question

¿Qué es la forma cerrada de expresión para $F(n)$ al $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ y $F(0)=a$, $F(1)=b$ y $a,b>0$ ? Parece simple generalización de la secuencia de Fibonacci, pero no puedo encontrar la forma cerrada para que ni por mí ni el uso de google.

Answer 1

Todas las soluciones de la recurrencia $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ son de la forma

$$F(n)=A\varphi^n+B\widehat\varphi^n\tag{1}$$

para algunas constantes $A$ $B$ donde $$\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\quad\text{and}\quad\widehat\varphi=\frac{1-\sqrt5}2\;.$$

Para encontrar$A$$B$, acaba de sustituir a sus valores iniciales en $(1)$ para obtener

$$\left\{\begin{align*} &a=F(0)=A+B\\ &b=F(1)=\varphi A+\widehat\varphi B\;, \end{align*}\right.$$

y resolver el sistema resultante para$A$$B$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \binom{F(n)}{F(n+1)} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\[6pt] 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \binom{F(n-1)}{F(n)} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\[6pt] 1 & 1 \end{bmatrix}^n \binom{a}{b} $$ así el problema se reduce a diagonalize la matriz $M=\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}$.

Denotando $\phi_1=\frac{1-\sqrt 5}{2}$ $\phi_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}$ (las raíces de la $x^2-x-1=0$) tiene $$ \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} \phi_1 & 0\\ 0 & \phi_2 \end{bmatrix} T^{-1} $$ donde, $$ T = \begin{bmatrix} -\phi_2 & -\phi_1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \quad\text{y}\quad T^{-1} = \frac{1}{\sqrt 5} \begin{bmatrix} -1 & -\phi_1\\ 1 & \phi_2 \end{bmatrix} $$ así que $$ \binom{F(n)}{F(n+1)} = T \begin{bmatrix} \phi_1^n & 0\\[6pt] 0 & \phi_2^n \end{bmatrix} T^{-1} \binom{a}{b} $$ La primera fila indica que $$ F(n) = \phi_1\phi_2 \frac { (\phi_1^{n-1}-\phi_2^{n-1}) + (\phi_1^n-\phi_2^n)b } { \sqrt 5 } $$

Answer 3

El análisis es esencialmente el mismo que el que da la "Binet" fórmula para la secuencia de Fibonacci. Vamos $\alpha$, $\beta$ las dos raíces de la ecuación de $x^2-x-1=0$. Entonces
$$F(n)=A\alpha^n+B\beta^n,$$ donde $A$ $B$ se eligen de manera que las condiciones iniciales son satisfechos.

Así que establezca $A+B=a$$A\alpha +B\beta=b$, y resolver este sistema de dos ecuaciones lineales de $A$$B$. Por ejemplo, con $a=2$$b=1$, obtenemos los números de Lucas,

Answer 4

Usted puede formar a la generación de la función de esta secuencia en particular; es el mismo que el de la Fib Seq, pero la diferencia de las condiciones iniciales conducen a una función diferente:

$$g(z) = \frac{a+(b-a)z}{1-z-z^2}$$

Para obtener los números en la secuencia, Taylor ampliar esta función.

Answer 5

$F(n)=aFib(n-1)+bFib(n)$ (Esto es suponiendo que la Fib(0)=0Fib(1)=1)

Esto se obtiene asumiendo $F(n)=ah_n+b g_n$ y darse cuenta de que h y g satisfacen las Fibonacci de recurrencia y las condiciones iniciales se desplazan por delante.