Encontrar el límite , Muestran que $\{F_n\}$ converge uniformemente a $F$ sobre cerrado subconjuntos de a $S$, pero no en $S$. $F_n(x) = x^n \sin nx, S=(-1,1)$

Question

Encontrar$F(x)= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} F_n(x)$$S$. Mostrar que $\{F_n\}$ converge uniformemente a $F$ sobre cerrado subconjuntos de a $S$, pero no en $S$. $$F_n(x) = x^n \sin nx, S=(-1,1)$$

RE-EDICIÓN (Basado en Mundron la Respuesta):

(a) Pointwise,

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sin nx \rightarrow [-1,1], \forall x \in S$$

Al $$|x|<1 \implies \lim\limits_{n \rightarrow \infty} x^n \rightarrow 0, \forall x \in S$$

De la siguiente manera: $$F(x)= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} F_n(x) = 0, \forall x \in S$$.

La aplicación de La Chebyshev norma:Cuando la convergencia uniforme: $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} || f_n -f||_{\infty} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup_{x in D_S} |f_n(x) - f(x)| = 0 $$

.

(b) En un subconjunto cerrado:

Considerando un subconjunto cerrado $C \subseteq S$. $$\{m= \min C \in S \}, \{M = \max C \in S \} \implies -1< m <M<1 $$

$$||F_n(x) - F(x)|| = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |F_n(x) - F(x)|= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |F_n(x) | = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |x^n \sin nx| $$ Sigue $$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |x^n \sin nx| \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |x^n| = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup |x|^n = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (max\{ |m|, |M|\})^n =0$$ since $|m|, |M| <1$

De ello se desprende $F_n$ converge uniformemente a $0$ sobre un subconjunto cerrado de $S$.

.

(c) En un subconjunto abierto

Teniendo en cuenta $\{1 - \frac{1}{n}\} \in S, \forall \in \mathbb N$, $\{1 - \frac{1}{n}\}$ es abierto, ya que el $\epsilon$-vecindad de cada punto en el conjunto de contenidos.

$$||F_n(x) - F(x)|| = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sup \left|F_n\left(1 -\frac{1}{n} \right) \right| = \sup |\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(e^{-1}sin(n-1) \right) | = e^{-1} \neq 0$$

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Trabajando en la aplicación de Chebychev de la Norma. Es esta argumentación correcta? Si no ¿cómo se aplica?

Muy apreciado por su ayuda/de entrada.

Answer 1

Al$x=-1$,$\lim\limits_{n\to\infty} x^n\to \infty$.

En primer lugar, usted escribir $x^n\to \infty$ $n\to\infty$ o $\lim_{n\to\infty} x^n=\infty$, pero no mezcle la notación!

Segundo, $\lim_{n\to\infty} (-1)^n$ no existe, ya que los cambios entre el$-1$$1$. Cómo debe ser $\infty$?

Al$x=1$,$\lim\limits_{n\to\infty} \{F_n(x)\}=\infty$.

De nuevo es malo. $\lim\limits_{n\to\infty}1^n\sin(n)=\lim\limits_{n\to\infty}\sin(n)$. Desde $\sin$ está delimitado el límite no puede convertirse $\infty$. Ver más lejos >>aquí<< que este límite no existe.

Si $|x|>1$, $\lim\limits_{n\to\infty}\{F_n(x)\}$ diverge.

Esto no es cierto en general. Considere la posibilidad de $x=\pi>1$, consigue $$\lim\limits_{n\to\infty}F_n(\pi)=\lim\limits_{n\to\infty}\pi^n\sin(n\pi)=\lim\limits_{n\to\infty}0=0$$ que converge. Pero la pregunta no es necesario considerar la posibilidad de $F_n$$|x|>1$.

$\sup|x^n\sin(nx)|=1$.

Qué conjunto? Yo no la veo...

Cómo probar que $F_n$ converge uniformemente a $0$ sobre un subconjunto cerrado de $S$?

En primer lugar usted necesita un subconjunto cerrado $C\subset S$. Desde $C$ es cerrado tenemos $m=\min C\in S$ $M=\max C\in S$ por lo tanto $-1<m\leq M<1$ y $$ \sup_{x\in C}|F_n(x)|=\sup_{x\in C}|x|^n|\sin(nx)|\leq \sup_{x\in C}|x|^n\leq \max\{|m|,|M|\}^n. $$ Desde $|m|,|M|<1$ obtener $\sup_{x\in C}|F_n(x)|\to 0$ $n\to\infty$ y, por tanto, $F_n$ converge uniformemente a$0$$C$.

¿Por qué es $F_n$ no uniformemente convergente a$0$$S$?

Considere la posibilidad de que $F_n$ converge a$0$$S$, pero no de manera uniforme. Así que usted tiene que demostrar que $$ \sup_{x\in S}|F_n(x)|=\sup_{x\in S}|x|^n|\sin(nx)|\no\0\text{ como }n\to\infty. $$ Sugerencias:

1. $1-\frac1n\in S$ todos los $n\in\mathbb N$

2. $\lim\limits_{n\to\infty} \left(1-\frac1n\right)^n=e^{-1}$

3. $\sup_{x\in S} |F_n(x)|\geq F_n\left(1-\frac1n\right)$.

4. $F_n\left(1-\frac1n\right)\approx e^{-1}\sin(n-1)$ grandes $n$.

Answer 2

Deje $\epsilon >0$. Si $F_{n}$ uniformemente convergente a $F$ a continuación, para todos $x\in (-1, 1)$,$\vert F_n(x)-F(x)\vert<\epsilon$ para todos los $n \geq k$ donde $k\geq [ (\log(1/\epsilon))/(\log(1\x))+1])$. Esta $k$ depende de $\epsilon$$x$. Así que la secuencia de funciones no es uniformemente convergente.

Answer 3

Parte 1.

Para $n\in \mathbb N$ deje $n=\pi K(n)+D(n)$ donde $K(n)\in \mathbb N \cup \{0\}$ $ |D(n)|\leq\pi /2.$ $cannot$ ser cierto que $\lim_{n\to \infty}|D(n)|=0$ porque $$0\leq |D(n)|<1/2\implies (\;K(n+1)=K(n)\;\land\; 1/2\leq |D(n+1)|<3/2\;).$$ (Because $3/2<\pi /2.$)

Así que tome $r\in (0,\pi /2]$ de manera tal que el conjunto $$S=\{n\in \mathbb N:\pi /2\geq | D(n)|\geq r\}$$ es infinito.

Para $n\in S$ tenemos $|\sin n|=|\sin D(n)|\geq \sin r.$

Cada función de $|F_n|$ es continua con $|F_n(0)|=0 $ $\lim_{x\to 1^-}|F_n(x))=|\sin n|=|\sin D(n)|.$

Así que por el IVT, para cada una de las $n\in S$ existe $x_n\in (0,1)$ $|F_n(x_n)|=\frac {1}{2}|\sin D(n)|\geq \frac {1}{2}\sin r.$

Ahora $F_n(x)$ converge punto-sabio en $(-1,1)$ a la función constante $F(x)=0.$ Pero $S$ es infinito y para cada una de las $n\in S$ hemos $$\sup_{|x|<1}|F_n(x)-F(x)|\geq |F_n(x_n))-F(x_n)|=|F_n(x_n)|\geq \frac {1}{2}\sin r.$$ So $F_n$ does not converge uniformly to $0.$

Observación. En la primera línea me dijo $0\leq |D(n)|\leq \pi /2$ en lugar de $0<|D(n)|<\pi /2$ porque para esto Q no importa si es o no $\pi$ es irracional.

Parte 2.

Por un subconjunto cerrado de $(-1,1)$ debe significar un subconjunto cerrado de $\mathbb R$ que es un subconjunto de a $(-1,1),$ frente a un subconjunto cerrado del espacio topológico $(-1,1).$

Al $T$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R$ $T\subset (-1,1)$ $s\in (0,1)$ tal que $T\subset [-1+s,1-s].$ ($s$ existe, de lo contrario $\phi \ne\{-1,1\}\cap \overline S=(-1,1)\cap S.$)

Deje $F(x)=0$ todos los $x\in (-1,1).$ Hemos $$\sup_{x\in T}|F_n(x)-F(x)|\leq \sup_{|x|\leq 1-s}|F_n(x)-F(x)|=\sup_{|x|\leq 1-s}|x^n\sin nx|\leq\sup_{|x|\leq 1-s}|x|^n=(1-s)^n.$$ Now $\lim_{n\to \infty}(1-s)^n=0$ because $|1-s|<1.$ So $$\lim_{n\to \infty}\|F_n-F\|_T=0$$ where $\|F_n-F\|_T=\sup_{x\in T}|F_n(x)-F(x)|.$ Therefore $F_n$ converges uniformly to $0$ on $T$.