Bueno, primero vamos a solucionar algunos pequeños problemas con su cuantificadores (es decir, su "no existe").
"si $p_n$ es converge, entonces no existe $\epsilon >0$, y no existe $p_n \in N_\epsilon(p)$ todos los $n\geq n_0$"
Esto no es exactamente lo que significa para la secuencia de $p_n$ a converger. Lo que digo es:
Para todos los $\epsilon >0$, existe $n_0$ tal que $p_n \in N_\epsilon(p)$ todos los $n\geq n_0$.
(Supongo que has visto a este escrito como
$$\forall \epsilon>0\ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \text{such that} \ \forall n>n_0, \ p_n \in N_\epsilon(p),$$
pero eso es sólo la notación.)
Su enfoque después de que es de derecho: suponga $p\notin F$, lo $p \in F^c$.
Lo que viene después es un poco fuera de si.
$p$ es un punto límite de $p_n$, pero esto no es lo que implica la $N_\epsilon(p) \subset F^c$.
Recuerde lo que era importante acerca de $F$: es cerrado. Por lo $F^c$ es ___? (Llenar el espacio en blanco).
Desde $p\in F^c$, e $F^c$ es abierto, esto nos dice que hay una vecindad alrededor de $p$ contenido totalmente en el $F^c$, se $N_\delta(p)$ algunos $\delta >0$.
Ahora usted puede terminar de esperar que su contradicción. Hay un barrio de $p$ que sólo contiene los puntos en $F^c$, ¿cómo es que esto contradice el hecho de que $p_n$ converge a $p$?
