Problema de rango, traza, determinante y valor propio

Question

Aquí hay un problema y su solución que he traducido del coreano (por lo que puede contener algunos errores):

El problema:

Para matrices reales de n por n $A,B$ Supongamos que $xA+yB=I$ para un real no nulo $x,y$ y $AB=0$ . Prueba $$det(A+B) = \frac{1}{x^{\text{rank}(A)}y^{\text{rank}(B)}}.$$

Solución:

Dejemos que $A'=xA$ y $B'=yB$ .

Entonces $A'+B'=I$ y $A'B'=0$ .

Entonces se deduce que $A'=A'^2$ y $B'=B'^2$ .

Así que los polinomios mínimos de $A'$ y $B'$ divide $x^2-x$ . Así, los valores propios son $0$ o $1$ . Por lo tanto, $A'$ y $B'$ son diagonalizables. Sea $V,W$ sea el eigespacio de $A'$ , $B'$ respectivamente correspondientes al valor propio $1$ . Entonces $\text{trace}(A')=\text{dim}(V)$ y $\text{trace}(B')=\text{dim}(W)$ .

(*) También $\text{trace}(A')+\text{trace}(B')=n$ . Así, $\text{dim}(V \cap W)=0$ y $R^n=V \oplus W$ (suma directa).

(**) Así $$\text{det}(A+B)= \frac{1}{x}^{\text{dim}(V)} \frac{1}{y}^{\text{dim}(W)}=\frac{1}{x}^{\text{trace}(A')} \frac{1}{y}^{\text{trace}(B')}=\frac{1}{x^{\text{rank}(A)}y^{\text{rank}(B)}}$$

Mi pregunta:

1) ¿Por qué (*) se mantiene?

2) ¿Por qué (**) se mantiene?

Sé que la suma de los valores propios es igual a $\text{trace}(A)$ y el múltiplo es igual a $\text{det}(A)$ . Gracias.

Answer 1

En primer lugar, debemos demostrar que $(A')^2 = A'$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que $A'$ se desplaza con $B'$ ya que $B = I - A'$ es un "polinomio" en $A$ . Ahora, $$ I = (A' + B')^2 = (A')^2 + (B')^2 + 2A'B'= (A')^2 + (B')^2\\ = (A')^2 + (I - A')^2 = 2(A')^2 - 2A' + I $$ Reacomodar $I = 2(A')^2 - 2A' + I$ para encontrar $(A')^2 = A'$ . Del mismo modo, para $B'$ .

Para demostrar (*): observe que $$ n = \operatorname{Tr}(I) = \operatorname{Tr}(A' + B') = \operatorname{Tr}A' + \operatorname{Tr}B' $$ Para ver que $V \cap W = \{0\}$ Tenga en cuenta que cualquier $v \in V \cap W$ satisfaría $A'B'v = v$ .

Para demostrar (**): basta con considerar $A'$ a $B'$ con respecto a una base que diagonaliza ambos.

Answer 2

Son buenos trucos.

En cuanto a (*) Porque $A`+B`=I$ , $Tr(A`)+Tr(B`)=n$ .

Y si $dim(V \cap W)\ne 0$ existe un $X \in V\cap W$ . Entonces $ABX=AX=X$ . Sin embargo, $AB=0$ eso es un conflicto.

Así que $dim(V \cap W)= 0$ .

En cuanto a (**) Primero notamos que W es el eigespacio de $A`$ correspondiente al valor propio 0, porque $A`B`=0$ . Y lo mismo para V.

Porque $R^n=V(+)W$ cuando diagonalizamos $A`$ , $B`$ también es diagonal. Así que podemos calcular $$det(A+B)=det(\frac{1}{x}A`+\frac{1}{y}B`)$$

Answer 3

En primer lugar, no es cierto que el polinomio característico de $A'$ (o $B'$ ) debe dividir $x^2 - x$ . Lo que sí es cierto es que el polinomio mínimo de $A'$ (o $B'$ ) debe dividir $x^2 - x$ y por lo tanto $A'$ (y $B'$ ) es diagonalizable con posible valores propios $0,1$ .

Desde $A' + B' = I$ obtenemos $$ \operatorname{trace}(A' + B') = \operatorname{trace}(A') + \operatorname{trace}(B') = \dim V + \dim W = \operatorname{trace}(I_n) = n. $$

Desde $A'B' = 0$ , si $v \in V \cap W$ entonces $0 = A' B'v = A'v = v$ que muestra que $V \cap W = \{ 0 \}$ . Esto, junto con $\dim V + \dim W = n$ implica que $\mathbb{R}^n = V \oplus W$ . Por último, los valores propios de $cB' + dI$ son $d$ con multiplicidad $\dim V$ y $c + d$ con multiplicidad $\dim W$ . Por lo tanto,

$$ \det(A + B) = \det \left( \frac{1}{x} \left( xA + yB + (x - y)B \right) \right) = \det \left( \frac{1}{x} I + \frac{x-y}{y}B' \right) \\ = \frac{1}{x}^{\dim V} \left( \frac{1}{x} + \frac{x - y}{y} \right)^{\dim W} = \frac{1}{x}^{\dim V} \frac{1}{y}^{\dim W}.$$