Consideremos el siguiente triángulo rectángulo con $AB =AC$ . $D$ y $E$ son puntos tales que $BD^2 + EC^2 = DE^2$ . Demostrar que $\angle DAE = 45^{\circ}$
Lo obvio era construir un triángulo rectángulo con $BD, EC, DE$ como sus lados. Entonces, dibujamos un círculo alrededor de $BD$ con $D$ como centro y un círculo alrededor $EC$ con $E$ como centro. Sea la intersección del círculo en el interior del triángulo $F$ . Únete a $FD$ y $EC$ . Claramente, $DF = BD$ y $FE = EC$ . También, $\angle DFE = \frac{ \pi}{2}$
Si podemos demostrar que $F$ es el circuncentro de $\Delta DAE$ hemos terminado, ya que el ángulo en el centro es el doble del ángulo en cualquier otra parte del círculo y por lo tanto $\angle DAE$ tiene la medida deseada. Podemos probar esto demostrando que $AF = FE = FD$ .
Otra forma de enfocar el problema es
Sea $\angle FED = \theta$ .
$$\implies \angle FEC = 180 - \theta$$
$$\angle EFC = \angle ECF = \frac{\theta}{2}$$
$$\angle EDF = 90 - \theta$$
$$\angle BDF = 90 + \theta$$
$$\angle DBF = \angle DFB = 45 - \frac{\theta}{2}$$
Si podemos demostrar que $BDFA$ y $FECA$ son cíclicos, $\angle FCE = \angle FAE = \frac{\theta}{2}$ . $\angle DBF = \angle DAF = 45 - \frac{\theta}{2}$ . Sumando los valores de $\angle DAF$ y $\angle FAE$ nos da el valor deseado.
No he podido demostrar lo necesario para cada uno de estos planteamientos. ¿Cómo puedo demostrarlos?
