Probar que determinados incidencia de la correspondencia es una variedad proyectiva.

Question

Deje $M$ ser el espacio proyectivo de cero $m\times n$ matrices hasta escalares (en $\mathbb{K}$). Joe Harris de la Geometría Algebraica: Un primer curso, con el fin de encontrar la dimensión de $M_{k}=\{A\in M:\mathrm{rk}(A)\leq k\}$, la siguiente incidencia de la correspondencia se considera: $$ \Sigma=\{(A,\Lambda)\en M_{k}\times G(m-k,n):\Lambda\subseteq\ker Un\}, $$ donde $G(m-k,n)$ es el conjunto de $m-k$-planos en el espacio vectorial $\mathbb{K}^{n}$. No llego a ver por qué esto es una variedad proyectiva. He tratado de encontrar un mapa $$ \pi: M_{k}\times G(m-k,n)\rightarrow X, $$ donde $X$ es una variedad proyectiva, que $\pi^{-1}(X)=\Sigma$. Desde un mapa es continua en la topología de Zariski, $\Sigma$ sería una variedad proyectiva. El problema es que no he de encontrar un mapa como el que.

Otra opción sería la de encontrar las ecuaciones de $\Sigma$. Creo que la primera de las coordenadas de un punto de $p\in\Sigma$ debe satisfacer las ecuaciones de $M_{k}$, pero me pierdo cuando me tratan de determinar las ecuaciones para el resto de las coordenadas.

Answer 1

Recordemos que un subconjunto $F$ a de un espacio topológico $X$ es cerrado si y sólo si existe un abierto de la cubierta $\{ X_{i} \}$ $X$ tal que $F \cap X_{i}$ es cerrado en $X_{i}$.

La cubierta de la Grassmannian variedad $G(m-k, n)$ con abrir conjuntos de $U_{i_{1}, \ldots, i_{m-k}}$ consta de $(m-k)$-dimensiones subespacios vectoriales de $\mathbb{K}^{n}$, que representamos por una matriz de $\Lambda_{(m-k) \times n}$, con cero no menor $\Lambda_{i_{1}, \ldots, i_{m-n}}$ formado por las columnas de a$i_{1}, \ldots, i_{m-k}$$\Lambda$.

Suponga $(i_{1}, \ldots, i_{m-k}) = (1, \ldots, m-k)$ (para el caso general, aplicar una permutación de coordenadas). Multiplicando $\Lambda$ por la inversa de la menor $\Lambda_{1, \ldots, m-k}$, podemos asumir que $\Lambda_{1, \ldots, m-k} = Id_{m-k}$, la identidad. Tenga en cuenta que cada entrada $b_{i,j}$, $1 \leq i \leq m-k$, $m-k+1 \leq j \leq n$, es un Plücker coordinar, porque es (y firmar) el determinante de una menor de $\Lambda$, es decir, la determinat de la identidad de $\Lambda_{1, \ldots, m-k}$ con la columna de $i$ reemplazada por la columna de $j$.

Ahora, escriba $A = (a_{1}, \ldots, a_{m})^{t}$, con cada una de las $a_{i}=(a_{ij})_{j} \in \mathbb{K}^{n}$. Tenemos $\Lambda \subset \ker(A)$ (aún teniendo en cuenta $\Lambda$ en la forma de arriba) si y sólo si $A \cdot a_{k} = 0$, para cada $k = 1, \ldots, m$. Esto nos da las ecuaciones que definen el cuasi-variedad proyectiva $\Sigma \cap U_{i}$. Esto demuestra que $\Sigma$ es una variedad proyectiva, por el hecho anterior, recordó.

Para obtener las ecuaciones en la totalidad del producto $M_{k} \times G(m-k, n)$, homogeneizar las ecuaciones de definición de $\Sigma \cap U_{i}$. Usted tendrá un montón de ellos. La mayor parte del tiempo, usted no necesita saber de ellos, las ecuaciones de definición de $\Sigma \cap U_{i}$ son suficientes.